Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
integral1^+infty x^-12 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria
integral1^+infty x^-tfrac12 ,dx
Conteúdo: integrais impróprias e antiderivadas. Precisamos usar o conceito de limite para avaliar a convergência e encontrar a primitiva de x^-1/2.

Passo 2

Primeiro encontramos a antiderivada de x^-1/2. Para alpha neq -1 vale
integral x^alpha ,dx = x^alpha+1alpha+1 + C
Aqui alpha = -tfrac12, então alpha+1 = tfrac12 e
integral x^-tfrac12 ,dx = x^tfrac12tfrac12 = 2x^tfrac12 + C

Passo 3

Definimos a integral definida até um ponto b>1:
I(b)=integral1^b x^-tfrac12 ,dx = l[2x^tfrac12r]1^b = 2raizb - 2

Passo 4

Agora analisamos o limite quando b to +infty:
limbto+infty I(b) = limbto+infty (2raizb - 2) = +infty
Como o valor tende a infinito, a integral não converge.

Passo 5

Concluímos que a integral impropria diverge, pois o limite é infinito.

Resposta

A integral diverge (não converge a um valor finito).

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