Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Passo 1
Resumo: Temos a integral imprópria
com
. O ponto
torna a função não limitada, então vamos usar teoria de integrais impróprias (dividir em duas) e o critério de convergência de
-integral.
Passo 2
Para tratar a descontinuidade em
, separamos a integral em duas partes e escrevemos como limites:
Passo 3
Convergência pelo critério de
-integral: próximo de zero a função se comporta como
com
. Como
, ambas as integrais na vizinhança de zero convergem.
Passo 4
Para calcular cada parte, precisamos da primitiva de
. Sabendo que
, temos:
Passo 5
Agora avaliamos os limites usando a primitiva. Para a parte esquerda:
e para a parte direita:
Passo 6
Somando as duas partes obtemos a integral total finite e igual a
.
Resposta
3\bigl(\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}\bigr)