Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
integrala^b x^-23 d x, a<0

Passo 1

Resumo: Temos a integral imprópria integrala^b x^-23,dx com a<0. O ponto x=0 torna a função não limitada, então vamos usar teoria de integrais impróprias (dividir em duas) e o critério de convergência de p-integral.

Passo 2

Para tratar a descontinuidade em 0, separamos a integral em duas partes e escrevemos como limites:
integrala^b x^-tfrac23,dx = limtto0^-integrala^t x^-tfrac23,dx + limsto0^+integrals^b x^-tfrac23,dx

Passo 3

Convergência pelo critério de p-integral: próximo de zero a função se comporta como x^-p com p=2/3<1. Como p<1, ambas as integrais na vizinhança de zero convergem.

Passo 4

Para calcular cada parte, precisamos da primitiva de x^-2/3. Sabendo que integral x^m,dx = x^m+1/(m+1), temos:
integral x^-tfrac23,dx = x^-2/3+1-2/3+1 + C = x^1/31/3 + C = 3x^1/3 + C

Passo 5

Agora avaliamos os limites usando a primitiva. Para a parte esquerda:
limtto0^-l[3t^1/3 - 3a^1/3r] = -3a^1/3,
e para a parte direita:
limsto0^+l[3b^1/3 - 3s^1/3r] = 3b^1/3

Passo 6

Somando as duas partes obtemos a integral total finite e igual a 3b^1/3 - 3a^1/3.

Resposta

3\bigl(\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}\bigr)

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