Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno de
, da região limitada por
e a parábola
.
Passo 1
Estamos lidando com a região limitada por y=0 e pela parábola y=a x - x², com a>0, que será rotacionada em torno do eixo OX. O conteúdo aqui é cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos discos, e precisamos identificar a função raio e os limites de integração.
Passo 2
Para achar os limites em x, igualamos a parábola a zero: a x - x² = 0 ⇒ x(a - x) = 0. Assim, as interseções são x=0 e x=a, que serão os limites de integração.
Passo 3
Pelo método dos discos, cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y(x)=a x - x², então sua área é A(x)=π [y(x)]² = π (a x - x²)².
Passo 4
O volume é dado por
Expandindo o quadrado temos (a x - x²)² = a² x² - 2a x³ + x⁴.
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Somando tudo e multiplicando por π, obtemos o volume do sólido gerado.