Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno de O X, da região limitada por y=0 e a parábola y=a x-x^2, a>0.

Passo 1

Estamos lidando com a região limitada por y=0 e pela parábola y=a x - x², com a>0, que será rotacionada em torno do eixo OX. O conteúdo aqui é cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos discos, e precisamos identificar a função raio e os limites de integração.

Passo 2

Para achar os limites em x, igualamos a parábola a zero: a x - x² = 0 ⇒ x(a - x) = 0. Assim, as interseções são x=0 e x=a, que serão os limites de integração.

Passo 3

Pelo método dos discos, cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y(x)=a x - x², então sua área é A(x)=π [y(x)]² = π (a x - x²)².

Passo 4

O volume é dado por
V = ∫₀ᵃ A(x) dx = π ∫₀ᵃ (a x - x²)² dx ²²
Expandindo o quadrado temos (a x - x²)² = a² x² - 2a x³ + x⁴.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
∫₀ᵃ (a² x² - 2a x³ + x⁴) dx = a² · a³3 - 2a · a⁴4 + a⁵5 = a⁵3 - a⁵2 + a⁵5 = a⁵l(tfrac13-tfrac12+tfrac15r) = a⁵30 ²²³²³
Somando tudo e multiplicando por π, obtemos o volume do sólido gerado.

Resposta

V = pi a^530

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