Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
integrale^10 d xx ln x ln (ln x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integrale^10 dxx,ln x,ln(ln x)
Note que em x=e temos ln(ln e)=ln1=0, logo há singularidade no limite inferior. Para estudar a convergência, usaremos mudanças de variável que transformem a integral num formato mais simples.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = ln x
Como dnu = d x / x, os limites passam a ser: quando x=e, nu=1; quando x=10, nu=ln10. A integral fica
integrale^10 dxx,ln x,ln(ln x) =integralnu=1^ln10 1nu,lnnu,dnu

Passo 3

Na nova integral
integral1^ln10 dnunu,lnnu,
o ponto nu=1 é singular porque ln1=0. Para ver se diverge, fazemos outra substituição:
v = lnnu,
de modo que dv = dnu/nu. Os limites passam a ser: nu=1implies v=0 e nu=ln10implies v=ln(ln10). Assim,
integral1^ln10 dnunu,lnnu =integralv=0^ln(ln10) 1v,dv

Passo 4

Sabemos que a integral
integral0^ln(ln10) 1v,dv
é divergente no limite inferior (é o logaritmo que tende a -infty quando vto0^+). Portanto não há convergência.

Passo 5

Como a última integral diverge, concluímos que a integral original também diverge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados