Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumn=1^+infty 5^3 n 7^1-n

Passo 1

O enunciado pede para ver se a série sumn=1^infty 5^3n7^1-n converge e, em caso afirmativo, achar sua soma. O conteúdo é séries geométricas, então vamos usar a definição de série geométrica e a condição de convergência |r|<1.

Passo 2

Escrevendo o termo geral an:
an = 5^3n,7^1-n = 5^3ncdot7cdot7^-n = 7,(5^3)^n,7^-n = 7(1257)^n

Passo 3

Identificamos que é uma série geométrica de razão
r = 1257 approx 17,86
Em teoria de séries geométricas, a série sum a1 r^n-1 converge somente se |r|<1.

Passo 4

Aqui temos |r|=125/7>1. Portanto não satisfaz a condição de convergência, e a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois a sua razão r=125/7 é maior que 1.

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