Prove que:
sumn=1^+infty 2 n-13^n=1 (sugestão: 2 n-1=3 n-(n+1) )

Passo 1

Nesse exercício a gente quer mostrar que a soma infinita
sumn=1^infty 2n-13^n
vale exatamente 1. O conteúdo aqui é soma de séries do tipo geométrica e aritmético-geométrica; vamos precisar das fórmulas sumn=1^infty x^n=x1-x e sumn=1^infty n,x^n=x(1-x)^2.

Passo 2

Como sugerido, reescrevemos o termo genérico: 2n-1 = 3n - (n+1). Logo, definindo
S = sumn=1^infty 2n-13^n,
temos
S = sumn=1^infty 3n3^n , - , sumn=1^infty n+13^n

Passo 3

Agora separamos cada parte. Note que
sumn=1^infty 3n3^n = sumn=1^infty n3^n-1 = 3 sumn=1^infty n3^n,
enquanto
sumn=1^infty n+13^n = sumn=1^infty n3^n + sumn=1^infty 13^n

Passo 4

Usando as fórmulas conhecidas com x=1/3:
sumn=1^infty n3^n = tfrac13(1-tfrac13)^2 = 1/3(2/3)^2 = 34,
sumn=1^infty 13^n = tfrac131-tfrac13 = 12

Passo 5

Agora basta montar S:
S = 3cdot 34 , - l(34 + 12r) = 94 - 34 - 12 = 64 - 24 = 1

Resposta

1

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