Considere a série: ln 12+ln 23+ln 34+ldots+ln kk+1+ldots
Encontre a sequência de somas parciais e determine se a série converge. Se convergir, encontre sua soma.

Passo 1

O enunciado trata da série sumk=1^inftylnkk+1. Vamos usar propriedades de logaritmo e soma telescópica para analisá-la.

Passo 2

Aplicamos a identidade lnkk+1=ln k - ln(k+1) e escrevemos a soma parcial Sn da seguinte forma:
Sn=sumk=1^nlnkk+1=sumk=1^nl(ln k - ln(k+1)r)

Passo 3

Observando o cancelamento telescópico dos termos, temos:
Sn=(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+cdots+(ln n-ln(n+1))=ln1-ln(n+1)=-ln(n+1)

Passo 4

Para verificar a convergência, calculamos o limite de Sn quando ntoinfty:
limntoinftySn=limntoinftyl(-ln(n+1)r)=-infty
Como o limite não é finito, a série diverge.

Resposta

A sequência de somas parciais é Sn=-ln(n+1). Como limntoinftySn=-infty, a série diverge.

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