Calcule as seguintes integrais impróprias, ou mostre que são divergentes
(b) integral0^1 1x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é a parte (b) do exercício:
integral0^1 1x , dx
Esse tipo de integral cai na categoria de integrais impróprias porque a função 1x tem um ponto problemático em x = 0, onde ela não está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e integrais que têm descontinuidades ou intervalos infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. A função 1x não está definida em x = 0 porque não podemos dividir por zero. Então, para calcular essa integral, vamos reescrevê-la usando um limite. Vamos substituir o limite inferior de 0 por um valor a que se aproxima de 0:
integral0^1 1x , dx = lima to 0^+ integrala^1 1x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de 1x. A antiderivada de 1x é o logaritmo natural de x:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Aplicando isso aos limites de integração, temos:
integrala^1 1x , dx = ln|1| - ln|a| = ln(1) - ln(a)
Sabemos que ln(1) = 0, então simplificando:
ln(1) - ln(a) = 0 - ln(a) = -ln(a)

Passo 4

Agora, vamos avaliar o limite conforme a se aproxima de 0 pela direita:
lima to 0^+ -ln(a)
Sabemos que conforme a se aproxima de 0, ln(a) tende a -infty. Então:
-ln(a) to -(-infty) = +infty

Resposta

A integral integral0^1 1x , dx é divergente, ou seja, não possui um valor finito.

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