Calcule as seguintes integrais impróprias, ou mostre que são divergentes
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é a parte (b) do exercício:
Esse tipo de integral cai na categoria de integrais impróprias porque a função
tem um ponto problemático em
, onde ela não está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e integrais que têm descontinuidades ou intervalos infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. A função
não está definida em
porque não podemos dividir por zero. Então, para calcular essa integral, vamos reescrevê-la usando um limite. Vamos substituir o limite inferior de 0 por um valor
que se aproxima de 0:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de
. A antiderivada de
é o logaritmo natural de
:
Aplicando isso aos limites de integração, temos:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o limite conforme
se aproxima de 0 pela direita:
Sabemos que conforme
se aproxima de 0,
tende a
. Então:
Resposta
A integral
é divergente, ou seja, não possui um valor finito.