Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(o)
(o)
Passo 1
Temos a integral imprópria
O assunto aqui é integrals impróprias (singularidade em 0 e limite em ∞). Para decidir convergência, vamos analisar separadamente o comportamento em torno de θ=0 e em θ→∞, usando o teste de comparação e o p-teste para integrais.
Passo 2
Comportamento em θ→0: quando θ é muito pequeno, temos
, logo
Assim
Como o p-teste diz que
a parte de 0 a 1 da integral converge.
Passo 3
Comportamento em θ→∞: como
, temos
Pelo p-teste novamente,
$$
\int_{1}{\infty}\theta{-1/2},d\theta=\lim_{R\to\infty}\bigl[2\theta{1/2}\bigr]_{1}{R}=\infty,
$$
então a parte de 1 a ∞ diverge e, por comparação, também diverge a integral dada.
então a parte de 1 a ∞ diverge e, por comparação, também diverge a integral dada.
Passo 4
Como a integral diverge na parte de θ→∞, concluímos que a integral imprópria original diverge.
Resposta
A integral diverge.