Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(o) integral0^infty 1+sen^2(theta)raiztheta d theta

Passo 1

Temos a integral imprópria
integral0^infty 1+sin^2(theta)raiztheta,dtheta
O assunto aqui é integrals impróprias (singularidade em 0 e limite em ∞). Para decidir convergência, vamos analisar separadamente o comportamento em torno de θ=0 e em θ→∞, usando o teste de comparação e o p-teste para integrais.

Passo 2

Comportamento em θ→0: quando θ é muito pequeno, temos sinthetaapproxtheta, logo
sin^2(theta)approxtheta^2implies 1+sin^2(theta)approx1
Assim
1+sin^2(theta)raizthetasim theta^-1/2
Como o p-teste diz que
integral0^1theta^-1/2,dtheta=l[2theta^1/2r]0^1=2
a parte de 0 a 1 da integral converge.

Passo 3

Comportamento em θ→∞: como 0<=sin^2(theta)<=1, temos
1<=1+sin^2(theta)<=2implies 1raiztheta<=1+sin^2(theta)raiztheta<=2raiztheta
Pelo p-teste novamente,
$$
\int_{1}{\infty}\theta{-1/2},d\theta=\lim_{R\to\infty}\bigl[2\theta{1/2}\bigr]_{1}{R}=\infty,
$$
então a parte de 1 a ∞ diverge e, por comparação, também diverge a integral dada.

Passo 4

Como a integral diverge na parte de θ→∞, concluímos que a integral imprópria original diverge.

Resposta

A integral diverge.

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