A Lei de Gravitação de Newton afirma que dois corpos de massa
e
atraem, um ao outro, com uma força
onde
é a distância entre os seus centros de massa e
é a constante gravitacional.
(b) Se um planeta tem massa
e raio
, calcule o trabalho necessário para lançar um foguete de massa
para fora do seu campo gravitacional (
e
)
(b) Se um planeta tem massa
Passo 1
Nesse exercício, o enunciado pede que a gente calcule o trabalho necessário para levar um foguete de massa
de um planeta de massa
e raio
até o infinito (isto é, de
a
), vencendo a força gravitacional. O conteúdo principal envolve trabalho de força variável e energia potencial gravitacional, e para resolver a gente vai usar a definição de trabalho através de integrais.
Passo 2
Para começar, lembramos que o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento radial é dado por
Aqui a força gravitacional é radial e aponta para o centro, com módulo
. Como queremos o trabalho da força externa que vence a gravidade, usamos
porque a força externa é igual e oposta à gravitacional.
Passo 3
Substituindo
na integral, obtemos
Para resolver essa integral, lembramos que
e então avaliamos de
até
.
Passo 4
Ao avaliar o antiderivado, temos
Multiplicando pelo fator
, concluímos que o trabalho necessário é
.