A Lei de Gravitação de Newton afirma que dois corpos de massa m1 e m2 atraem, um ao outro, com uma força
F(r)=-G m1 m2r^2
onde r é a distância entre os seus centros de massa e G é a constante gravitacional.
(b) Se um planeta tem massa M e raio R, calcule o trabalho necessário para lançar um foguete de massa m para fora do seu campo gravitacional ( a=R e b=+infty )

Passo 1

Nesse exercício, o enunciado pede que a gente calcule o trabalho necessário para levar um foguete de massa m de um planeta de massa M e raio R até o infinito (isto é, de r=R a r=+infty), vencendo a força gravitacional. O conteúdo principal envolve trabalho de força variável e energia potencial gravitacional, e para resolver a gente vai usar a definição de trabalho através de integrais.

Passo 2

Para começar, lembramos que o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento radial é dado por
W=integrala^bvec F(r)cdot dvec r
Aqui a força gravitacional é radial e aponta para o centro, com módulo F(r)=-G,M mr^2. Como queremos o trabalho da força externa que vence a gravidade, usamos
W=integralR^inftyl[-F(r)r],dr
porque a força externa é igual e oposta à gravitacional.

Passo 3

Substituindo F(r)=-G,M mr^2 na integral, obtemos
W=integralR^inftyG;M mr^2,dr
Para resolver essa integral, lembramos que
integral r^-2,dr=-1r,
e então avaliamos de R até +infty.

Passo 4

Ao avaliar o antiderivado, temos
integralR^inftyr^-2,dr=l[-tfrac1rr]R^infty=0-l(-tfrac1Rr)=tfrac1R
Multiplicando pelo fator G M m, concluímos que o trabalho necessário é G M mtimestfrac1R.

Resposta

W=dfracG M mR

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