Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(t)
(t)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral impropriamente definida
converge ou diverge. O tema aqui é integração imprópria e vamos usar comparação e a fórmula da função Gama para confirmar a convergência.
Passo 2
Primeiro, analisamos o ponto
. Quando
, temos
, então a integral em um pequeno intervalo
se comporta como
. Logo não há problema de divergência no limite inferior.
Passo 3
Agora, analisamos o comportamento quando
. Como
decai mais rápido que qualquer exponencial padrão
, podemos comparar com uma integral conhecida ou usar diretamente a fórmula geral
Usando a propriedade da função Gama, para vale
Usando a propriedade da função Gama, para
Aqui
, então
Passo 4
Essa expressão é finita, o que garante que a integral converge.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.