Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(t) integral0^infty e^-x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral impropriamente definida integral0^infty e^-x^3,dx converge ou diverge. O tema aqui é integração imprópria e vamos usar comparação e a fórmula da função Gama para confirmar a convergência.

Passo 2

Primeiro, analisamos o ponto x=0. Quando xto 0, temos e^-x^3approx 1, então a integral em um pequeno intervalo [0,varepsilon] se comporta como integral0^varepsilon1,dx=varepsilon. Logo não há problema de divergência no limite inferior.

Passo 3

Agora, analisamos o comportamento quando xtoinfty. Como e^-x^3 decai mais rápido que qualquer exponencial padrão e^-ax, podemos comparar com uma integral conhecida ou usar diretamente a fórmula geral
Usando a propriedade da função Gama, para p>0 vale
integral0^infty e^-x^p,dx = 1p,Gammal(tfrac1pr)
Aqui p=3, então
integral0^infty e^-x^3,dx = 13,Gammal(tfrac13r)

Passo 4

Essa expressão é finita, o que garante que a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é tfrac13,Gamma(tfrac13).

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