Calcule as seguintes integrais impróprias, ou mostre que são divergentes
(i)
(i)
Passo 1
A questão pede para calcular a integral imprópria de
Temos que calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolvido é integral imprópria e integração por partes. Vamos precisar usar o conceito de limite para integrar até
, aplicar integração por partes para encontrar a primitiva de
e analisar o decaimento do termo exponencial para
.
Passo 2
Escrevemos a integral imprópria como limite:
Passo 3
Precisamos da primitiva de
. Usando integração por partes, tomamos:
Então:
Logo:
Passo 4
Agora aplicamos os limites
a 0 nessa primitiva:
Passo 5
Analisamos o comportamento quando
. Como o exponencial decai muito mais rápido que qualquer polinômio,
Isso garante que a integral converge.
Passo 6
Substituindo esse limite, obtemos:
Resposta
-1