Calcule as seguintes integrais impróprias, ou mostre que são divergentes
(i) integral-infty^0 u e^u d u

Passo 1

A questão pede para calcular a integral imprópria de
Temos que calcular a integral imprópria integral-infty^0u,e^u,du. O conteúdo envolvido é integral imprópria e integração por partes. Vamos precisar usar o conceito de limite para integrar até -infty, aplicar integração por partes para encontrar a primitiva de u,e^u e analisar o decaimento do termo exponencial para uto-infty.

Passo 2

Escrevemos a integral imprópria como limite:
integral-infty^0u,e^u,du =limato-inftyintegrala^0u,e^u,du

Passo 3

Precisamos da primitiva de u,e^u. Usando integração por partes, tomamos:
integral u,e^u,du = u,e^u - integral e^u,du = u,e^u - e^u + C = e^u(u-1) + C
Então:
Logo:

Passo 4

Agora aplicamos os limites a a 0 nessa primitiva:
integrala^0u,e^u,du = l[e^u(u-1)r]u=a^u=0 = e^0(0-1) - e^a(a-1) = -1 - e^a(a-1)

Passo 5

Analisamos o comportamento quando ato-infty. Como o exponencial decai muito mais rápido que qualquer polinômio,
limato-inftye^a(a-1)=0
Isso garante que a integral converge.

Passo 6

Substituindo esse limite, obtemos:
integral-infty^0u,e^u,du = limato-inftyl(-1 - e^a(a-1)r) = -1 - 0 = -1

Resposta

-1

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