Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
Passo 1
O exercício dá a sequência
e pede para investigarmos sua monotonicidade (crescente, decrescente ou não-monótona). Vamos usar conceitos de monotonicidade de sequências e alguns exemplos numéricos.
Passo 2
Monotonicidade significa: uma sequência é crescente se
para todo
, decrescente se
para todo
e não-monótona se nenhuma das duas condições vale para todos os
.
Para comparar e
, note que
Para comparar
Passo 3
O sinal dessa diferença depende de
, que oscila entre
e
. Assim, às vezes o denominador de
pode ser maior que o de
(fazendo
) e às vezes menor (fazendo
).
Para tornar isso concreto, calculemos alguns termos:
Para tornar isso concreto, calculemos alguns termos:
- Para
: e . Logo . - Para
: e . Logo .
Passo 4
Como vimos que em um passo a sequência sobe (
) e em outro desce (
), não há monotonicidade consistente.
Portanto, a sequência não é nem crescente nem decrescente, ou seja, é não-monótona.
Portanto, a sequência não é nem crescente nem decrescente, ou seja, é não-monótona.
Resposta
A sequência é não-monótona.