Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
1n+sen n^2

Passo 1

O exercício dá a sequência an = 1n + sin(n^2) e pede para investigarmos sua monotonicidade (crescente, decrescente ou não-monótona). Vamos usar conceitos de monotonicidade de sequências e alguns exemplos numéricos.

Passo 2

Monotonicidade significa: uma sequência é crescente se an+1 >= an para todo n, decrescente se an+1 <= an para todo n e não-monótona se nenhuma das duas condições vale para todos os n.
Para comparar an+1 e an, note que
an+1 - an = 1(n+1)+sin((n+1)^2) - 1n+sin(n^2)

Passo 3

O sinal dessa diferença depende de sin((n+1)^2) - sin(n^2), que oscila entre -2 e +2. Assim, às vezes o denominador de an+1 pode ser maior que o de an (fazendo an+1) e às vezes menor (fazendo an+1>an).
Para tornar isso concreto, calculemos alguns termos:
  • Para n=1: a1=dfrac11+sin(1)approxdfrac11+0,84=0,54 e a2=dfrac12+sin(4)approxdfrac12-0,76=0,80. Logo a2>a1.
  • Para n=2: a2approx0,80 e a3=dfrac13+sin(9)approxdfrac13+0,41=0,29. Logo a3.

Passo 4

Como vimos que em um passo a sequência sobe ( a2>a1) e em outro desce ( a3), não há monotonicidade consistente.
Portanto, a sequência não é nem crescente nem decrescente, ou seja, é não-monótona.

Resposta

A sequência é não-monótona.

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