Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x^3+1x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de uma função racional
integral x^3+1x-1,dx
Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, vamos usar divisão de polinômios para decompor a fração.

Passo 2

Realizando a divisão de x^3+1 por x-1:
x^3+1x-1 = x^2 + x + 1 + 2x-1,
pois (x-1)(x^2+x+1)=x^3-1 e o resto é x^3+1-(x^3-1)=2.

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa decomposição, temos
integral x^3+1x-1,dx = integral l(x^2 + x + 1r),dx + 2integral 1x-1,dx

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral x^2,dx = x^33, integral x,dx = x^22, integral 1,dx = x, integral 1x-1,dx = lnllvert x-1rrvert
Portanto,
integral x^3+1x-1,dx = x^33 + x^22 + x + 2lnllvert x-1rrvert + C

Resposta

integral x^3+1x-1,dx = x^33 + x^22 + x + 2lnllvert x-1rrvert + C

Exercícios relacionados