Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 2 x^3+1x^2+x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 2x^3+1x^2+x,dx
Aqui o conteúdo é integração de função racional. Vamos usar divisão de polinômios para separar uma parte polinomial de uma fração própria e depois decompor essa fração própria em frações parciais.

Passo 2

Dividindo o polinômio 2x^3+1 por x^2+x, encontramos
2x^3+1x^2+x = 2x - 2 + 2x+1x(x+1)

Passo 3

Decompondo a fração própria
2x+1x(x+1) = Ax + Bx+1,
temos
2x+1 = A(x+1) + Bx = (A+B)x + A
Igualando coeficientes, A+B=2 e A=1. Logo A=1 e B=1, de modo que
2x+1x(x+1) = 1x + 1x+1

Passo 4

Substituindo de volta, a integral vira
integral 2x^3+1x^2+x,dx = integral l(2x - 2 + 1x + 1x+1r),dx
Integramos termo a termo:
integral 2x,dx = x^2, integral (-2),dx = -2x, integral 1x,dx = ln|x|, integral 1x+1,dx = ln|x+1|

Resposta

x^2 - 2x + ln|x| + ln|x+1| + C

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