Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x^4-2 x^3+3 x^2-7 x+1x^2-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral x^4-2 x^3+3 x^2-7 x+1x^2-2 x,dx
Trata-se de uma função racional imprópria (grau do numerador maior ou igual ao do denominador), então vamos usar divisão algébrica seguida de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, dividimos o polinômio x^4-2 x^3+3 x^2-7 x+1 por x^2-2 x. O quociente é x^2+3 e o resto é -x+1. Assim,
x^4-2 x^3+3 x^2-7 x+1x^2-2 x = x^2+3 ;+;-x+1x^2-2 x

Passo 3

Com isso, a integral se separa em duas partes:
integral x^4-2 x^3+3 x^2-7 x+1x^2-2 x,dx = integral (x^2+3),dx ;+;integral -x+1x(x-2),dx

Passo 4

A primeira parte é direta:
integral (x^2+3),dx = x^33 + 3x

Passo 5

Na segunda parte aplicamos frações parciais. Escrevemos
-x+1x(x-2) = Ax + Bx-2
Multiplicando por x(x-2) obtemos
-x+1 = A(x-2)+B x = (A+B)x -2A
Comparando coeficientes:
A+B = -1, -2A = 1
logo A=-tfrac12 e B=-tfrac12. Portanto
-x+1x(x-2) = -12l(1x + 1x-2r)

Passo 6

Agora integramos essa fração parcial:
integral -x+1x(x-2),dx = -12integrall(1x+1x-2r),dx = -12lnlvert xrvert -12lnlvert x-2rvert

Passo 7

Somando as duas partes e incluindo a constante C, a solução final é
x^33 + 3x ;-;12lnlvert xrvert ;-;12lnlvert x-2rvert + C

Resposta

x^33 + 3x - 12lnlvert xrvert - 12lnlvert x-2rvert + C

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