Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x^2+1x^2-x d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
integral x^2+1x^2-x,dx
O conteúdo necessário envolve: divisão de polinômios (porque o numerador e o denominador têm mesmo grau) e decomposição em frações parciais para integrar o resultado.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios, escrevemos
x^2+1x^2-x = (x^2-x)+(x+1)x^2-x = 1 + x+1x(x-1)
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integral x^2+1x^2-x,dx = integral 1,dx ;+;integral x+1x(x-1),dx

Passo 3

Agora decompomos
x+1x(x-1) = Ax + Bx-1
Multiplicando ambos os lados por x(x-1), obtemos
x+1 = A(x-1) + Bx = (A+B)x - A
Comparando coeficientes:
A + B = 1, -,A = 1 ;;Longrightarrow;; A = -1, ;B = 2

Passo 4

Substituindo em cada integral:
integral 1,dx = x, integral x+1x(x-1),dx = integral l(-1x + 2x-1r),dx = -lnlvert xrvert + 2lnlvert x-1rvert

Resposta

boxedx - lnlvert xrvert + 2lnlvert x-1rvert + C

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