Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral e^xe^2 x-4 e^x+3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral e^xe^2x-4e^x+3,dx
O conteúdo principal é usar substituição para simplificar o exponencial e depois frações parciais para integrar a função racional resultante.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^x, dt = e^x,dx,
logo e^x,dx = dt. Assim a integral vira
integral e^xe^2x-4e^x+3,dx = integral dtt^2-4t+3

Passo 3

Fatoramos o denominador e preparamos a decomposição em frações parciais:
t^2-4t+3 = (t-1)(t-3),
1(t-1)(t-3) = At-1 + Bt-3

Passo 4

Para encontrar A e B escrevemos
1 = A(t-3) + B(t-1)
Escolhendo valores convenientes:
para t=1: 1 = A(1-3) = -2A Rightarrow A = -tfrac12.
para t=3: 1 = B(3-1) = 2B Rightarrow B = tfrac12.

Passo 5

Substituindo em frações parciais e integrando:
integral dtt^2-4t+3 = integral l(-tfrac121t-1 + tfrac121t-3r),dt = -tfrac12ln|t-1| + tfrac12ln|t-3| + C

Passo 6

Voltando à variável x com t=e^x:
-tfrac12ln|e^x-1| + tfrac12ln|e^x-3| + C = tfrac12lnl|e^x-3e^x-1r| + C

Resposta

12lnl|e^x-3e^x-1r| + C

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