Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 2 x^2-25 x-33x^3-3 x^2-9 x-5 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
integral 2 x^2-25 x-33x^3-3 x^2-9 x-5,dx.
Esse tipo de integral envolve fração racional; vamos fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Buscamos fatores do polinômio
x^3-3x^2-9x-5.
Testando x=5 como raiz, vemos que
5^3-3cdot5^2-9cdot5-5=125-75-45-5=0,
logo x-5 é fator. Usando divisão sintética ou divisão de polinômios, obtemos
x^3-3x^2-9x-5=(x-5)(x^2+2x+1)=(x-5)(x+1)^2

Passo 3

Escrevemos então
2x^2-25x-33(x-5)(x+1)^2 =Ax-5+Bx+1+C(x+1)^2
Multiplicando por (x-5)(x+1)^2 e igualando numeradores, temos
2x^2-25x-33 = A(x+1)^2+B(x-5)(x+1)+C(x-5)

Passo 4

Expandindo o lado direito e comparando coeficientes em x^2,x,1, obtemos o sistema
A+B=2, 2A-4B+C=-25, A-5B-5C=-33
Resolvendo, achamos
A=-3, B=5, C=1

Passo 5

Substituindo na integral, fica
integral2x^2-25x-33x^3-3x^2-9x-5,dx =integrall(-3x-5+5x+1+1(x+1)^2r),dx
Integramos termo a termo:
integral -3x-5,dx=-3lnlvert x-5rvert, integral 5x+1,dx=5lnlvert x+1rvert, integral 1(x+1)^2,dx=-1x+1

Resposta

-3lnlvert x-5rvert+5lnlvert x+1rvert-1x+1+C

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