Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de
para as equaçÔes diferenciais a seguir.
Passo 1
A equação diferencial dada é
. O conteúdo aqui é método de séries de potências em torno de
, pois
é ponto ordinário (os coeficientes são analíticos em torno de zero). Vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências e usar o procedimento padrão para obter uma relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 2
Assumimos
Logo,
Passo 3
Multiplicamos e substituímos em
Temos:
Reescrevendo cada soma em potências
:
Passo 4
Agora igualamos coeficientes de
a zero em cada grau:
Para :
Para
Para
:
Para
:
ou seja
Passo 5
Dois coeficientes iniciais ficam livres:
e
. Já temos
. A relação de recorrência liga
a
, produzindo duas séries independentes:
- Série ímpar (começando em
) com parâmetro ; - Série par múltiplo de 3 (começando em
) com parâmetro .
Calculando alguns termos:
Passo 6
Portanto, a solução geral em série de potências em torno de zero é uma combinação linear de duas séries independentes: uma começando em
e outra em
.
A forma explícita até algumas ordens é:
Passo 7
Como
e
são constantes arbitrárias (condições iniciais), esta é a solução geral em série de potências.
Resposta
A solução geral em série de potências em torno de
é
onde
e
são constantes arbitrárias.