Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de x=0 para as equaçÔes diferenciais a seguir.
z^prime prime-x^2 z^prime-x z=0

Passo 1

A equação diferencial dada é z'' - x^2 z' - x z = 0. O conteúdo aqui é método de séries de potências em torno de x=0, pois x=0 é ponto ordinário (os coeficientes são analíticos em torno de zero). Vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências e usar o procedimento padrão para obter uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Assumimos
z(x)=sumn=0^inftyan x^n
Logo,
z'(x)=sumn=1^inftyn an x^n-1= summ=0^infty(m+1)am+1x^m
z''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2= sumk=0^infty(k+2)(k+1)ak+2x^k

Passo 3

Multiplicamos e substituímos em
z''-x^2z'-xz=0
Temos:
sumk=0^infty(k+2)(k+1)ak+2x^k -,x^2summ=0^infty(m+1)am+1x^m -,xsumn=0^inftyanx^n =0
Reescrevendo cada soma em potências x^k:
sumk=0^infty(k+2)(k+1)ak+2x^k -sumk=2^infty(k-1)ak-1x^k -sumk=1^inftyak-1x^k=0

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de x^k a zero em cada grau:
Para k=0:
2cdot1,a2=0implies a2=0
Para k=1:
3cdot2,a3 - a0=0implies a3=a06
Para k>=2:
(k+2)(k+1)ak+2 - l[(k-1)+1r]ak-1=0
ou seja
ak+2=k(k+2)(k+1),ak-1

Passo 5

Dois coeficientes iniciais ficam livres: a0 e a1. Já temos
a2=0. A relação de recorrência liga ak+2 a ak-1, produzindo duas séries independentes:
  • Série ímpar (começando em x^1) com parâmetro a1;
  • Série par múltiplo de 3 (começando em x^0) com parâmetro a0.
    Calculando alguns termos:
a3=tfraca06, a4=tfrac24cdot3a1=tfraca16, a5=0, a6=tfrac46cdot5a3=tfraca045,dots

Passo 6

Portanto, a solução geral em série de potências em torno de zero é uma combinação linear de duas séries independentes: uma começando em x^0 e outra em x^1.
A forma explícita até algumas ordens é:
z(x)=a0l(1+tfracx^36+tfracx^645+cdotsr) + a1l(x+tfracx^46+cdotsr)

Passo 7

Como a0 e a1 são constantes arbitrárias (condições iniciais), esta é a solução geral em série de potências.

Resposta

A solução geral em série de potências em torno de x=0 é
z(x)=C1l(1+x^36+x^645+cdotsr) + C2l(x+x^46+cdotsr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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