Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(d) integral sen(3 x) cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin(3x)cos(2x),dx. O conteúdo principal é integração de produto de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade produto-soma para sen e cos.

Passo 2

Usamos a identidade
sin(A)cos(B)=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
No nosso caso, A=3x e B=2x. Aplicando a identidade ao integrando:
sin(3x)cos(2x)=tfrac12l[sin(3x+2x)+sin(3x-2x)r]=tfrac12l[sin(5x)+sin(x)r]
Logo, a integral vira:
integralsin(3x)cos(2x),dx=tfrac12integrall[sin(5x)+sin(x)r]dx

Passo 3

Agora integramos cada termo usando integralsin(kx),dx=-tfraccos(kx)k+C:
tfrac12integralsin(5x),dx=tfrac12l(-tfraccos(5x)5r)=-tfraccos(5x)10,
tfrac12integralsin(x),dx=tfrac12l(-cos(x)r)=-tfraccos(x)2

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração, obtemos o resultado final:
integral sin(3x)cos(2x),dx = -tfraccos(5x)10 - tfraccos(x)2 + C

Resposta

-\tfrac{\cos(5x)}{10}-\tfrac{\cos(x)}{2}+C

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