Considerando que um estudante esteja testando um software para calcular o valor da integral integral-2^1(1x^2-5) d x,
avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. O resultado integral-2^1(1x^2-5) d x=-332, apresentado pelo software, está correto.
PORQUE
II. A primitiva da função f(x)=1x^2-5 é a função F(x)=-1x-5 x e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, conclui-se que
integral-2^1(1x^2-5) d x=(-1x-5 x)|-2 ^1=(-11-5 cdot 1)-(-1(-2)-5(-2))=-332
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
(A) As asserções I e II são proporções verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

Passo 1

Primeiro, identificamos que a integral é imprópria, pois a função f(x)= 1/x^2-5 tem descontinuidade em x=0 e o intervalo de integração [-2,1] atravessa esse ponto. Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo precisaríamos que f fosse contínua em todo o intervalo.
Vamos checar a continuidade de f(x)= 1/x^2-5. Como em x=0 o termo 1/x^{2} fica indefinido, f não é contínua em [-2,1]. Portanto, a integral deve ser avaliada como uma integral imprópria, por limites laterais.

Passo 2

Mesmo com a descontinuidade, podemos verificar a primitiva de f em cada ramo (x<0 e x>0). De fato, para x≠0, uma antiderivada é F(x)=-1/x-5x. Isso mostra que a asserção II (forma da primitiva) é correta, mas não garante aplicação direta do TFC sobre todo o intervalo.

Passo 3

Para ver o que acontece, separamos a integral em duas partes e avaliamos o limite:
integral-2^1l(1x^2-5r)dx=integral-2^0^-l(1x^2-5r)dx+integral0^+^1l(1x^2-5r)dx
Por exemplo,
integral-2^0^-1x^2dx=limvarepsilonto0^-l[-1xr]-2^varepsilon=limvarepsilonto0^-l(-1varepsilon+12r)=+infty,
logo a integral diverge.

Passo 4

Concluímos que o valor finito -33/2 é incorreto porque a integral realmente diverge. Assim, a asserção I é falsa; a asserção II é verdadeira na forma da primitiva, mas não justifica a aplicação do TFC nesse intervalo.

Passo 5

Portanto, I é falsa, II é verdadeira e II não justifica I.

Resposta

A asserção I é falsa, a asserção II é verdadeira e II não justifica I.

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