Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Encontre o polinômio de Taylor da
em torno de
de ordem
. Em seguida, use 0 polinômio de Taylor de ordem 3 para aproximar
e compare 0 valor com 0 cálculo exato usando uma calculadora.
Encontre o polinômio de Taylor da
Passo 1
Beleza, vamos lá! A primeira coisa que a questão está pedindo é para a gente encontrar o polinômio de Taylor da função
em torno de
(isso também é chamado de polinômio de Maclaurin) até a ordem
. Depois, vamos usar esse polinômio de ordem 3 para aproximar
e comparar esse valor com o que a calculadora dá de verdade. Então, o conteúdo que vamos usar aqui é a série de Taylor, que ajuda a gente a aproximar funções por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o polinômio de Taylor. Para uma função
expandida em torno de
, o polinômio de Taylor de ordem
é dado por:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
E assim por diante. Vemos que as derivadas se repetem a cada ordem.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3, ou seja,
:
Passo 7
A questão pede para usarmos esse polinômio para aproximar
. Mas nossa função original é
. Para aproximar
, podemos pensar que
. Então, vamos substituir
no polinômio
:
Passo 8
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 9
Agora, vamos comparar com o valor exato de
usando uma calculadora:
Resposta
Usando o polinômio de Taylor de ordem 3, a aproximação de
é aproximadamente
, que está muito próxima do valor exato
.