Todas as questões a seguir envolve a fórmula de Taylor
Encontre o polinômio de Taylor da f(x)=e^-x em torno de x=0 de ordem n. Em seguida, use 0 polinômio de Taylor de ordem 3 para aproximar e^0.1 e compare 0 valor com 0 cálculo exato usando uma calculadora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A primeira coisa que a questão está pedindo é para a gente encontrar o polinômio de Taylor da função em torno de (isso também é chamado de polinômio de Maclaurin) até a ordem . Depois, vamos usar esse polinômio de ordem 3 para aproximar e comparar esse valor com o que a calculadora dá de verdade. Então, o conteúdo que vamos usar aqui é a série de Taylor, que ajuda a gente a aproximar funções por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o polinômio de Taylor. Para uma função Pn(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + cdots + f^(n)(a)n!(x - a)^n expandida em torno de , o polinômio de Taylor de ordem é dado por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x) = e^-x :
f'(x) = -e^-x
f''(x) = e^-x
f'''(x) = -e^-x
f''''(x) = e^-x
E assim por diante. Vemos que as derivadas se repetem a cada ordem.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em f(0) = e^0 = 1 :
f'(0) = -e^0 = -1
f''(0) = e^0 = 1
f'''(0) = -e^0 = -1
f''''(0) = e^0 = 1

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Pn(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + cdots + f^(n)(0)n!x^n
Substituindo os valores que encontramos:
Pn(x) = 1 - x + x^22! - x^33! + cdots + (-1)^n x^nn!

Passo 6

Agora, vamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3, ou seja, P3(x) = 1 - x + x^22 - x^36 :

Passo 7

A questão pede para usarmos esse polinômio para aproximar P3(-0.1) = 1 - (-0.1) + (-0.1)^22 - (-0.1)^36 . Mas nossa função original é . Para aproximar , podemos pensar que . Então, vamos substituir no polinômio :

Passo 8

Calculando cada termo:
1 - (-0.1) = 1 + 0.1 = 1.1
(-0.1)^22 = 0.012 = 0.005
(-0.1)^36 = -0.0016 approx -0.0001667
Somando tudo:
P3(-0.1) = 1.1 + 0.005 - 0.0001667 approx 1.1048333

Passo 9

Agora, vamos comparar com o valor exato de e^0.1 approx 1.105170918 usando uma calculadora:

Resposta

Usando o polinômio de Taylor de ordem 3, a aproximação de é aproximadamente , que está muito próxima do valor exato .

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