Calcule as seguintes integrais indefinidas que envolvem potências trigonométricas:
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan^3 x \,\operatorname{sec} x \,dx.
Este é um caso de integrais de potências trigonométricas. Vamos usar a identidade
\tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x - 1
e observar que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x.

Passo 2

Reescrevendo \tan^3 x como \tan^2 x\cdot\tan x e aplicando a identidade, temos
\tan^3 x \,\operatorname{sec} x = (\tan^2 x)\,(\tan x\,\operatorname{sec} x) = (\operatorname{sec}^2 x - 1)\,(\operatorname{sec} x\,\tan x).

Passo 3

Note que
d(\operatorname{sec} x) = \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx.
Fazendo a substituição
u = \operatorname{sec} x,\qquad du = \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx,
a integral em x vira uma integral em u.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int \tan^3 x\,\operatorname{sec} x\,dx = \int (\operatorname{sec}^2 x - 1)\,(\operatorname{sec} x\,\tan x\,dx) = \int (u^2 - 1)\,du = \frac{u^3}{3} - u + C.

Passo 5

Voltando à variável original (u = \operatorname{sec} x), a primitiva é
\frac{\operatorname{sec}^3 x}{3} - \operatorname{sec} x + C.

Resposta

\frac{\operatorname{sec}^3 x}{3} - \operatorname{sec} x + C.

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