Calcule as seguintes integrais indefinidas que envolvem potências trigonométricas:
\int \operatorname{sen}^{3} x \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{3}x\,\cos^{4}x\,dx.
O conteúdo envolve integrais de potências de funções trigonométricas. Como a potência de \sin x é ímpar, vamos usar a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x e depois fazer substituição.

Passo 2

Escrevemos a integranda isolando um fator de \sin x:
\sin^{3}x\,\cos^{4}x = (\sin^{2}x)\,\sin x\,\cos^{4}x = (1-\cos^{2}x)\,\sin x\,\cos^{4}x.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos x, \quad du = -\sin x\,dx \;\Longrightarrow\; \sin x\,dx = -du.
Assim a integral vira
\int(1-\cos^{2}x)\,\sin x\,\cos^{4}x\,dx = \int(1-u^{2})\,u^{4}\,(-du) = -\int\bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
-\int\bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du = -\Bigl(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}\Bigr)+C = -\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 5

Voltando a x com u=\cos x, obtemos
-\frac{\cos^{5}x}{5}+\frac{\cos^{7}x}{7}+C
que normalmente escrevemos como
\frac{\cos^{7}x}{7}-\frac{\cos^{5}x}{5}+C.

Resposta

\frac{\cos^{7}x}{7}-\frac{\cos^{5}x}{5}+C

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