Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição: vamos usar uma mudança de variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{2},
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\bigl(\tfrac{1}{2}du\bigr) = \tfrac{1}{2}\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Integramos \sin(u):
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Portanto
\tfrac{1}{2}\int \sin(u)\,du = -\tfrac{1}{2}\cos(u) + C.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C

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