Calcule usando frações parciais:
\int \frac{x^{3}+x+1}{x\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}+x+1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx
usando o método de frações parciais. Aqui o conteúdo é integração de função racional, e primeiro vamos verificar se precisamos dividir polinômios antes de decompor em frações parciais.

Passo 2

Como o numerador x^{3}+x+1 e o denominador x(x^{2}+1)=x^{3}+x têm o mesmo grau, fazemos a divisão de polinômios:
\frac{x^{3}+x+1}{x^{3}+x} =1+\frac{\bigl(x^{3}+x+1\bigr)-\bigl(x^{3}+x\bigr)}{x^{3}+x} =1+\frac{1}{x\,(x^{2}+1)}.
Logo
\int \frac{x^{3}+x+1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx =\int 1\,dx+\int \frac{1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx.

Passo 3

Agora decompondo
\frac{1}{x\,(x^{2}+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B\,x+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1), obtemos
1=A\,(x^{2}+1)+(B\,x+C)\,x =(A+B)\,x^{2}+C\,x+A.

Passo 4

Comparando coeficientes em x^{2}\), \(x\) e termo constante: \[\begin{cases} A+B=0,\\\ C=0,\\\ A=1. \end{cases}
Então A=1\], \(B=-1, C=0, e
\frac{1}{x\,(x^{2}+1)} =\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Substituindo na integral e integrando termo a termo:
\int \frac{x^{3}+x+1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx =\int 1\,dx+\int\frac{1}{x}\,dx-\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Calculamos
\int 1\,dx = x, \quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|, \quad \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Portanto
\int \frac{x^{3}+x+1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx =x+\ln\bigl|x\bigr|-\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.

Resposta

x+\ln\bigl|x\bigr|-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.

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