Calcule as seguintes integrais indefinidas:
f) integral 2(3 t+1)^2.4 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 2(3t+1)^2.4,dt. Esse é um caso de potência composta com função linear, então precisamos usar a fórmula integral (ax+b)^n,dx=(ax+b)^n+1a(n+1)+C.

Passo 2

Identificamos que a parte interior é 3t+1, com a=3, e o expoente n=-2.4. Aplicando a fórmula e lembrando do fator constante 2, temos
integral 2(3t+1)^2.4,dt =2integral(3t+1)^n,dt =2cdot(3t+1)^n+13(n+1)+C

Passo 3

Calculamos n+1=-2.4+1=-1.4=-tfrac75 e então
3(n+1)=3cdot(-tfrac75)=-tfrac215.
Logo o coeficiente fica
$$
\frac{2}{-\tfrac{21}{5}}=2\cdot\frac{5}{-21}=-\frac{10}{21}. 2-tfrac215=2cdot5-21=-1021é
-\frac{10}{21}(3t+1)^{-7/5}+C.
$$

Resposta

-\frac{10}{21}(3t+1)^{-7/5} + C

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