Seja a função
A função f é diferenciável em (0,0)?
A função f é diferenciável em (0,0)?
Passo 1
A gente tem a função
E o objetivo é ver se ela é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais lá e depois verificar se o resto do desenvolvimento linear é pequeno demais (é \emph{o}(|(x,y)|)).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0). Primeiro,
E
Passo 3
O mapa linear candidato a aproximar f perto de (0,0) é
Se f fosse diferenciável, teríamos
Passo 4
Vamos ver o resto da aproximação. Definimos
Juntando as frações:
Passo 5
Para ser diferenciável, precisamos que
Mas se pegarmos a reta y=mx temos
e
Logo
que não depende de x e é não nulo se m≠0. Então o quociente não vai a zero.
Passo 6
Como o resto da aproximação não é \emph{o}(|(x,y)|), a função não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).
Resposta
A função não é diferenciável em (0,0).