Seja a função f(x, y)= y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
A função f é diferenciável em (0,0)?

Passo 1

A gente tem a função
f(x,y)=y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
E o objetivo é ver se ela é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais lá e depois verificar se o resto do desenvolvimento linear é pequeno demais (é \emph{o}(|(x,y)|)).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0). Primeiro,
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto00-0h = 0
E
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h = limhto0h^3/h^2-0h = limhto0hh = 1

Passo 3

O mapa linear candidato a aproximar f perto de (0,0) é
L(x,y)=0cdot x + 1cdot y = y
Se f fosse diferenciável, teríamos
f(x,y) approx L(x,y) = y

Passo 4

Vamos ver o resto da aproximação. Definimos
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=y^3x^2+y^2-y
Juntando as frações:
R(x,y)=y^3 - y(x^2+y^2)x^2+y^2 = -y,x^2x^2+y^2

Passo 5

Para ser diferenciável, precisamos que
|R(x,y)|raizx^2+y^2 to 0 quando (x,y)to(0,0)
Mas se pegarmos a reta y=mx temos
|R(x,mx)| = |m x|,x^2x^2(1+m^2) = |m|,|x|1+m^2
e
raizx^2+(mx)^2 = |x|raiz1+m^2
Logo
|R(x,mx)|raizx^2+(mx)^2 = |m|(1+m^2)^3/2,
que não depende de x e é não nulo se m≠0. Então o quociente não vai a zero.

Passo 6

Como o resto da aproximação não é \emph{o}(|(x,y)|), a função não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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