Use o Teorema de Green para encoutrar a área da região D delimitada pela curva fechada C, que é a circunferencia x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a área da região D limitada pela circunferência C de equação x^2+y^2=1. O conteúdo envolvido é Cálculo Integral (Teorema de Green) e precisamos expressar a área como integral de linha sobre C, escolher funções P e Q apropriadas e parametrizar C.

Passo 2

O Teorema de Green diz que para funções P(x,y) e Q(x,y) suaves em D e seu contorno C orientado positivamente, vale:
integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =ointC P,dx + Q,dy
Para obter a área (ou seja, integral duplaD1,dA), escolhemos P e Q tais que
partial Qpartial x-partial Ppartial y=1
Uma escolha conveniente é
P(x,y)=-y2, Q(x,y)=x2
Assim,
A=integral duplaD1,dA=ointC P,dx + Q,dy

Passo 3

Parametrizamos a curva C (a circunferência de raio 1) por:
x=cos t, y=sin t, tin[0,2pi],
e, consequentemente,
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt

Passo 4

Substituímos P, Q, dx e dy na integral de linha para obter A:
A=ointC P,dx + Q,dy =integral0^2pil(-tfracsin t2(-sin t)+tfraccos t2(cos t)r)dt =tfrac12integral0^2pi(sin^2t+cos^2t),dt =tfrac12integral0^2pi1,dt =pi

Passo 5

Portanto, a área da região D é pi.

Resposta

pi

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