Seja o campo vetorial F(x, y)=nabla f(x, y), onde f(x, y)=x^2+y^2. Calcule a integral de linha de F ao longo da curva C, que é o arco de circunferência de raio 3, centrado nat origem, percorrendo o quadrante 0 <= theta <= pi2.

Passo 1

O problema pede a integral de linha de um campo vetorial conservativo sobre um arco de circunferência no primeiro quadrante. O conteúdo envolve campos conservativos (gradiente) e o Teorema de Gradiente para integrais de linha.

Passo 2

Reconhecemos que F(x,y)=nabla f(x,y) com f(x,y)=x^2+y^2 é um campo conservativo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos vetoriais, temos
integralC Fcdot d r = fl( r(b)r) - fl( r(a)r),
onde r(a) e r(b) são os pontos inicial e final da curva.

Passo 3

Parametrizando o arco de circunferência de raio 3: r(theta)=(3costheta,3sintheta), com theta de 0 a pi/2. O ponto inicial é r(0)=(3,0) e o final é r(pi/2)=(0,3).

Passo 4

Calculamos os valores de f nos extremos: f(3,0)=3^2+0^2=9 e f(0,3)=0^2+3^2=9. Portanto,
integralC Fcdot d r = f(0,3)-f(3,0)=9-9=0

Resposta

0

Exercícios relacionados