Seja o campo vetorial
, onde
. Calcule a integral de linha de
ao longo da curva
, que é o arco de circunferência de raio 3, centrado nat origem, percorrendo o quadrante
.
Passo 1
O problema pede a integral de linha de um campo vetorial conservativo sobre um arco de circunferência no primeiro quadrante. O conteúdo envolve campos conservativos (gradiente) e o Teorema de Gradiente para integrais de linha.
Passo 2
Reconhecemos que
com
é um campo conservativo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos vetoriais, temos
onde
e
são os pontos inicial e final da curva.
Passo 3
Parametrizando o arco de circunferência de raio 3:
, com
de 0 a
. O ponto inicial é
e o final é
.
Passo 4
Calculamos os valores de
nos extremos:
e
. Portanto,
Resposta
0