Calcule as seguintes integrais indefinidas:
i) integral sen(pi t) d t
j) integral sec ^2(2 x) tg(2 x) d x

Passo 1

Temos duas integrais indefinidas para calcular: integral sen(pi t) , dt e . O conteúdo é integração de funções trigonométricas envolvendo substituição para lidar com o fator integral sec^2(2x) tg(2x) , dx e pi.

Passo 2

Para integral sen(pi t) , dt, faça a substituição u = pi t. Daí du = pi , dt, logo dt = dupi. Substituindo na integral:
integral sen(pi t) , dt = integral sen(u) dupi = 1pi integral sen(u) , du
Integramos sen(u) sabendo que integral sen(u) , du = -cos(u) + C. Logo:
1pi integral sen(u) , du = -1pi cos(u) + C = -1pi cos(pi t) + C
Esse é o resultado da primeira integral.

Passo 3

Agora para , note que a derivada de integral sec^2(2x) tg(2x) , dx é . Então definimos sec(2x), daí
Reescrevendo o integrando:

Integramos 2 sec(2x) tg(2x) sabendo que u = sec(2x). Assim:
du = 2 sec(2x) tg(2x) , dx Longrightarrow sec(2x) tg(2x) , dx = du2
Pronto, esse é o resultado da segunda integral.

Resposta

i) -1picos(pi t)+C; j) 14sec^2(2x)+C

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