Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência sumn=0^infty (x-2)^nn^n.

Passo 1

A série dada é uma série de potências centrada em 2: sumn=0^infty an (x-2)^n com an = 1/n^n. O que queremos é o raio de convergência R e, a partir dele, o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da raiz para séries de potências.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, identificamos os coeficientes: para n>=1 temos an = 1/n^n e por convenção a0=1.

Passo 3

Calculamos o limite superior das raízes n-ésimas de |an|:
|an|^1/n = (1n^n)^1/n = 1n

Passo 4

Como limntoinfty 1/n = 0, o teste da raiz dá
L = limsupntoinfty |an|^1/n = 0

Passo 5

O raio de convergência R é dado por R = 1/L. Como L=0, obtemos
R = 10 = +infty

Passo 6

Se o raio é infinito, a série converge para todo xinR. Portanto o intervalo de convergência é
(-infty,,+infty)

Resposta

Raio de convergência: R=+infty. Intervalo de convergência: (-infty,,+infty).

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