Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência
.
Passo 1
A série dada é uma série de potências centrada em 2:
com
. O que queremos é o raio de convergência
e, a partir dele, o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da raiz para séries de potências.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, identificamos os coeficientes: para
temos
e por convenção
.
Passo 3
Calculamos o limite superior das raízes n-ésimas de
:
Passo 4
Como
, o teste da raiz dá
Passo 5
O raio de convergência
é dado por
. Como
, obtemos
Passo 6
Se o raio é infinito, a série converge para todo
. Portanto o intervalo de convergência é
Resposta
Raio de convergência:
. Intervalo de convergência:
.