Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) integral 2 x(x^2+3)^4 d x
b) integral(3 x-2)^20 d x

Passo 1

Nesse exercício a gente vai calcular duas integrais indefinidas usando a técnica de substituição (regra da cadeia) e a regra da potência. São elas: integral 2x(x^2+3)^4 dx e integral (3x-2)^20 dx. Vamos precisar reconhecer um fator que seja a derivada de outro em cada integral para substituir tranquilamente.

Passo 2

Para a integral integral 2x(x^2+3)^4 dx, faça a substituição u = x^2 + 3. A derivada é du = 2x,dx, então 2x,dx = du. Logo a integral vira integral u^4 du. Aplicando a regra da potência: integral u^4 du = u^55 + C. Voltando para x, obtemos (x^2+3)^55 + C.

Passo 3

Para a integral integral (3x-2)^20 dx, use a substituição v = 3x - 2. A derivada é dv = 3,dx, daí dx = dv3. A integral fica integral v^20 dv3 = 13 integral v^20 dv. De novo pela regra da potência: integral v^20 dv = v^2121 + C. Multiplicando o 1/3 v^2163 + C. Substituindo v=3x-2, o resultado é (3x-2)^2163 + C.

Resposta

a) (x^2+3)^55 + C
b) (3x-2)^2163 + C

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