Calcule as seguintes integrais indefinidas:
i) integral sen(pi t) d t

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a integral indefinida de uma função trigonométrica: integral sin(pi t),dt. O conteúdo envolvido é integração de sin(x) e uso de substituição linear.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = pi t. Assim, derivando ambos os lados, temos du = pi,dt ou dt = dupi.
Reescrevendo a integral em termos de u:
integral sin(pi t),dt = integral sin(u),dupi = 1piintegral sin(u),du
Sabemos que integral sin(u),du = -cos(u) + C. Logo,
1piintegral sin(u),du = -1picos(u) + C
Finalmente, voltando à variável original t com u=pi t, a primitiva é
-tfrac1picos(pi t) + C

Resposta

-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C

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