Resolva a equação abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferenciada que é a
. Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente, é uma equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação de Bernoulli e como aplicamos uma substituição para simplificá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações de Bernoulli. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, ela está na forma:
Onde, no nosso caso,
,
e
.
Passo 3
As equações de Bernoulli são um tipo especial de equações diferenciais que podem ser transformadas em equações lineares através de uma substituição. A substituição que usamos é:
No nosso caso, como
, temos:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Diferenciando ambos os lados da equação
, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Vamos substituir
na equação original. Lembra que tínhamos:
Substituindo
pela expressão em termos de
:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para isolar
:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 7
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando integração por partes:
Então, substituindo de volta:
Passo 11
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 12
Finalmente, resolvemos para
invertendo os dois lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.