Resolva a equação abaixo.
y^prime-y-x y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferenciada que é a y^prime - y - x y^2 = 0. Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente, é uma equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação de Bernoulli e como aplicamos uma substituição para simplificá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações de Bernoulli. A equação dada é:
y^prime - y - x y^2 = 0
Podemos reescrever isso como:
y^prime = y + x y^2
Agora, ela está na forma:
y^prime + P(x) y = Q(x) y^n
Onde, no nosso caso, P(x) = -1, Q(x) = x e n = 2.

Passo 3

As equações de Bernoulli são um tipo especial de equações diferenciais que podem ser transformadas em equações lineares através de uma substituição. A substituição que usamos é:
v = y^1 - n
No nosso caso, como n = 2, temos:
v = y^1 - 2 = y^-1
Isso significa que:
y = 1v

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de v em relação a x. Diferenciando ambos os lados da equação v = y^-1, temos:
v^prime = -y^-2 y^prime
Isso pode ser reescrito como:
y^prime = -y^2 v^prime

Passo 5

Vamos substituir y^prime na equação original. Lembra que tínhamos:
y^prime = y + x y^2
Substituindo y^prime pela expressão em termos de v:
-y^2 v^prime = y + x y^2
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
y^2 v^prime = -y - x y^2

Passo 6

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por y^2 para isolar v^prime:
v^prime = -yy^2 - x = -1y - x
Lembrando que v = 1y, substituímos:
v^prime = -v - x

Passo 7

Agora, temos uma equação linear em termos de v:
v^prime + v = -x
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1 dx = e^x

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^x v^prime + e^x v = -x e^x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto e^x v:
ddx (e^x v) = -x e^x

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx (e^x v) dx = integral -x e^x dx
Isso resulta em:
e^x v = -integral x e^x dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Para resolver a integral integral x e^x dx, usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • u = x du = dx
  • dv = e^x dx v = e^x
Aplicando integração por partes:
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C
Então, substituindo de volta:
e^x v = -(x e^x - e^x) + C e^x v = -x e^x + e^x + C

Passo 11

Agora, isolamos v dividindo ambos os lados por e^x:
v = -x + 1 + C e^-x
Lembrando que v = 1y, substituímos de volta:
1y = -x + 1 + C e^-x

Passo 12

Finalmente, resolvemos para y invertendo os dois lados:
y = 1-x + 1 + C e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1-x + 1 + C e^-x
Onde C é a constante de integração.

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