Encontre a solução da equação abaixo, separando as variáveis.
d yd x=e^x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dydx = e^x+y. Estamos lidando com uma equação diferencial separável, que permite separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a resolução. Para isso, precisamos usar propriedades de exponenciais e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por $ e^{y} $:
y

Passo 3

Agora, temos as variáveis separadas. O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a $ y $ do lado esquerdo e em relação a $ x $ do lado direito:
y

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
  • Do lado esquerdo:
integral e^-y , dy = -e^-y + C1
  • Do lado direito:
integral e^x , dx = e^x + C2

Passo 5

Igualando as integrais e agrupando as constantes:
-e^-y + C1 = e^x + C2
Podemos simplificar isso combinando as constantes $ C = C_2 - C_1 $:
C = C2 - C1

Passo 6

Vamos isolar $ e^{-y} $:
e^-y
Multiplicando ambos os lados por e^-y = -e^x - C :
-1

Passo 7

Agora, vamos resolver para $ y $. Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
y
Multiplicando por -y = ln(-e^x + K) :
-1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -ln(K - e^x)
onde $ K $ é uma constante de integração.

Exercícios relacionados