Encontre a solução da equação abaixo, separando as variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial separável, que permite separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a resolução. Para isso, precisamos usar propriedades de exponenciais e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por $ e^{y} $:
Passo 3
Agora, temos as variáveis separadas. O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a $ y $ do lado esquerdo e em relação a $ x $ do lado direito:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
- Do lado esquerdo:
- Do lado direito:
Passo 5
Igualando as integrais e agrupando as constantes:
Podemos simplificar isso combinando as constantes $ C = C_2 - C_1 $:
Passo 6
Vamos isolar $ e^{-y} $:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ y $. Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ K $ é uma constante de integração.