Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int 2 x \sqrt{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2x\sqrt{1+x^{2}}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é 2x\sqrt{1+x^{2}}. Não há limites — é uma integral indefinida — então o resultado terá uma constante de integração C. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Observação prática (sem resolver ainda): vemos a expressão \sqrt{1+x^{2}}, que é (1+x^{2})^{1/2}, e multiplicada por 2x. Isso sugere tentar uma substituição do tipo u = 1+x^{2}, porque a derivada de 1+x^{2} é 2x, que aparece multiplicando a raiz. A substituição é uma técnica que troca a variável complicada por uma mais simples; vou explicar como aplicá-la.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente. Defino
u = 1 + x^{2}.
Agora calculo o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Aqui du representa a variação infinitesimal de u quando x varia, e vimos que 2x\,dx é exatamente du. Isso significa que podemos substituir 2x\,dx por du na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original usamos que \sqrt{1+x^{2}} = u^{1/2} e 2x\,dx = du. Assim a integral fica
\int 2x\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \int u^{1/2}\,du.
Agora a integral está numa forma padrão: a integral de uma potência de u.

Passo 5

Aplico a regra de potência para integrais: para a\neq -1,
\int u^{a}\,du = \frac{u^{a+1}}{a+1} + C.
No nosso caso a = \tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u = 1+x^{2}:
\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3}\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3/2} + C.
Pronto — essa é a primitiva buscada. Como verificação rápida, posso derivar \frac{2}{3}(1+x^{2})^{3/2}: usando a regra da cadeia, a derivada é \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}(1+x^{2})^{1/2}\cdot 2x = 2x(1+x^{2})^{1/2}, que coincide com o integrando.

Resposta

\dfrac{2}{3}\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3/2}+C

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