Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. Não há limites — é uma integral indefinida — então o resultado terá uma constante de integração
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Observação prática (sem resolver ainda): vemos a expressão
, que é
, e multiplicada por
. Isso sugere tentar uma substituição do tipo
, porque a derivada de
é
, que aparece multiplicando a raiz. A substituição é uma técnica que troca a variável complicada por uma mais simples; vou explicar como aplicá-la.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente. Defino
Agora calculo o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Aqui
representa a variação infinitesimal de
quando
varia, e vimos que
é exatamente
. Isso significa que podemos substituir
por
na integral.
Passo 4
Substituindo na integral original usamos que
e
. Assim a integral fica
Agora a integral está numa forma padrão: a integral de uma potência de
.
Passo 5
Aplico a regra de potência para integrais: para
,
No nosso caso
, então
Passo 6
Volto à variável
substituindo
:
Pronto — essa é a primitiva buscada. Como verificação rápida, posso derivar
: usando a regra da cadeia, a derivada é
, que coincide com o integrando.