Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}(3 x) \cos (2 x) d x.
\int \operatorname{sen}(3 x) \cos (2 x) d x.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é o produto de duas funções trigonométricas,
e
. Não há mais condições (constante de integração aparecerá no final).
Passo 2
Vamos transformar o produto de seno e cosseno em soma de funções trigonométricas — isso facilita a integração. A identidade que usamos vem das fórmulas de soma e diferença para seno:
Somando as duas igualdades obtemos
Isolando
temos a conhecida identidade produto-para-soma:
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
, transformamos o integrando:
Portanto a integral vira
Passo 4
Agora precisamos lembrar como integrar
. Regra geral: para constante
,
Explicando por que: faça a substituição
, então
e
. Assim
Passo 5
Aplicando a fórmula aos dois termos:
Voltando à expressão com o fator
,
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Checagem rápida (para ter confiança): derivando o resultado obtemos
que é exatamente
pela identidade do Passo 3. Está correto.