Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}(3 x) \cos (2 x) d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sin(3x)\cos(2x)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de duas funções trigonométricas, \sin(3x) e \cos(2x). Não há mais condições (constante de integração aparecerá no final).

Passo 2

Vamos transformar o produto de seno e cosseno em soma de funções trigonométricas — isso facilita a integração. A identidade que usamos vem das fórmulas de soma e diferença para seno:
\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B
\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.
Somando as duas igualdades obtemos
\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B.
Isolando \sin A\cos B temos a conhecida identidade produto-para-soma:
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).

Passo 3

Aplicando a identidade com A=3x e B=2x, transformamos o integrando:
\sin(3x)\cos(2x)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(5x)+\sin(x)\big).
Portanto a integral vira
\int \sin(3x)\cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\int \sin(5x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int \sin(x)\,dx.

Passo 4

Agora precisamos lembrar como integrar \sin(kx). Regra geral: para constante k\neq 0,
\int \sin(kx)\,dx=-\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
Explicando por que: faça a substituição u=kx, então du=k\,dx e dx=\frac{du}{k}. Assim
\int \sin(kx)\,dx=\int \sin(u)\frac{du}{k}=\frac{1}{k}\int \sin(u)\,du=-\frac{1}{k}\cos(u)+C=-\frac{1}{k}\cos(kx)+C.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos dois termos:
\int \sin(5x)\,dx=-\frac{1}{5}\cos(5x)+C_1, \qquad \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C_2.
Voltando à expressão com o fator \tfrac{1}{2},
\tfrac{1}{2}\int \sin(5x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int \sin(x)\,dx =\tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right)+\tfrac{1}{2}\left(-\cos(x)\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
-\frac{1}{10}\cos(5x)-\frac{1}{2}\cos(x)+C.

Passo 6

Checagem rápida (para ter confiança): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(-\tfrac{1}{10}\cos(5x)-\tfrac{1}{2}\cos(x)\right) =\tfrac{1}{10}\cdot 5\sin(5x)+\tfrac{1}{2}\sin(x) =\tfrac{1}{2}\big(\sin(5x)+\sin(x)\big),
que é exatamente \sin(3x)\cos(2x) pela identidade do Passo 3. Está correto.

Resposta

-\dfrac{1}{10}\cos(5x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)+C

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