Calcule as seguintes integrais indefinidas:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações fornecidas:
- A função a integrar é o produto de duas cossenos:
e . - O que se pede é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Lembrete: no final deve aparecer a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto em soma (porque integrar soma de cossenos é direto). A identidade é
Explicando por que isso vale (passo a passo): pelas fórmulas de soma e diferença de cosseno:
Somando as duas equações:
logo isolando
obtemos a identidade acima. Aqui
e
são ângulos quaisquer (no nosso caso serão expressões em
).
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
, obtemos
Como
é função par,
. Logo
Passo 4
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora usamos a regra básica de integração de cosseno: para uma constante
,
pois
.
Aplicando com
e
:
Substituindo em (Passo 4) e juntando as constantes em uma única
:
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta encontramos
e isso é igual a
pela identidade do Passo 3. Portanto a primitiva está correta.