Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \cos (x) \cos (3 x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(x)\cos(3x)\,dx.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é o produto de duas cossenos: \cos(x) e \cos(3x).
  • O que se pede é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos(x)\cos(3x).
  • Lembrete: no final deve aparecer a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto em soma (porque integrar soma de cossenos é direto). A identidade é
\cos(u)\cos(v)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u+v)+\cos(u-v)\bigr).
Explicando por que isso vale (passo a passo): pelas fórmulas de soma e diferença de cosseno:
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v,
\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.
Somando as duas equações:
\cos(u+v)+\cos(u-v)=2\cos u\cos v,
logo isolando \cos u\cos v obtemos a identidade acima. Aqui u e v são ângulos quaisquer (no nosso caso serão expressões em x).

Passo 3

Aplicando a identidade com u=x e v=3x, obtemos
\cos(x)\cos(3x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(4x)+\cos(-2x)\bigr).
Como \cos é função par, \cos(-2x)=\cos(2x). Logo
\cos(x)\cos(3x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(4x)+\cos(2x)\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \cos(x)\cos(3x)\,dx = \int \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(4x)+\cos(2x)\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}\left(\int \cos(4x)\,dx + \int \cos(2x)\,dx\right).

Passo 5

Agora usamos a regra básica de integração de cosseno: para uma constante k\neq 0,
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C,
pois \frac{d}{dx}\bigl(\frac{1}{k}\sin(kx)\bigr)=\cos(kx).
Aplicando com k=4 e k=2:
\int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x)+C_1, \qquad \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)+C_2.
Substituindo em (Passo 4) e juntando as constantes em uma única C:
\int \cos(x)\cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\sin(4x)+\frac{1}{2}\sin(2x)\right)+C = \frac{1}{8}\sin(4x)+\frac{1}{4}\sin(2x)+C.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{8}\sin(4x)+\frac{1}{4}\sin(2x)\right) = \frac{1}{8}\cdot 4\cos(4x)+\frac{1}{4}\cdot 2\cos(2x) = \tfrac{1}{2}\cos(4x)+\tfrac{1}{2}\cos(2x),
e isso é igual a \cos(x)\cos(3x) pela identidade do Passo 3. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{8}\sin(4x)+\dfrac{1}{4}\sin(2x)+C

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