Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais: \int \frac{x^{2}+3 x+7}{x^{3}+x^{2}-2} d x;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral
\int \frac{x^{2}+3x+7}{x^{3}+x^{2}-2}\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
Temos uma função racional com numerador \,x^{2}+3x+7 e denominador \,x^{3}+x^{2}-2.
O pedido explícito é usar frações parciais para integrar.
Observação importante: o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), então a fração já é própria e podemos começar diretamente pela decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para saber a forma da decomposição em frações parciais.
Fatorando \,x^{3}+x^{2}-2:
x^{3}+x^{2}-2 = x^{3}+x^{2}+0x-2.
Testando raízes racionais possíveis (\pm1,\pm2), verifica-se que x=1 anula o polinômio:
1^{3}+1^{2}-2=0.
Portanto (x-1) é um fator. Fazendo divisão sintética por x-1 (coeficientes 1,1,0,-2):
Traga 1.
Multiplica por 1: 1; adiciona a 1 → 2.
Multiplica por 1: 2; adiciona a 0 → 2.
Multiplica por 1: 2; adiciona a -2 → 0.
O quociente é x^{2}+2x+2. Logo
x^{3}+x^{2}-2=(x-1)(x^{2}+2x+2).
Nota: x^{2}+2x+2 tem discriminante \Delta=4-8=-4<0, logo é irredutível sobre os reais (forma de quadrática irreducível).
Passo 3
Montar a forma da decomposição em frações parciais apropriada:
Como o denominador é produto de um fator linear distinto (x-1) e uma quadrática irreduzível (x^{2}+2x+2), a decomposição tem a forma