Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
\int \frac{x^{2}+3 x+7}{x^{3}+x^{2}-2} d x;

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral
\int \frac{x^{2}+3x+7}{x^{3}+x^{2}-2}\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • Temos uma função racional com numerador \,x^{2}+3x+7 e denominador \,x^{3}+x^{2}-2.
  • O pedido explícito é usar frações parciais para integrar.
  • Observação importante: o grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), então a fração já é própria e podemos começar diretamente pela decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para saber a forma da decomposição em frações parciais.
Fatorando \,x^{3}+x^{2}-2:
x^{3}+x^{2}-2 = x^{3}+x^{2}+0x-2.
Testando raízes racionais possíveis ( \pm1,\pm2), verifica-se que x=1 anula o polinômio:
1^{3}+1^{2}-2=0.
Portanto (x-1) é um fator. Fazendo divisão sintética por x-1 (coeficientes 1,1,0,-2):
  • Traga 1.
  • Multiplica por 1: 1; adiciona a 1 2.
  • Multiplica por 1: 2; adiciona a 0 2.
  • Multiplica por 1: 2; adiciona a -2 0.
O quociente é x^{2}+2x+2. Logo
x^{3}+x^{2}-2=(x-1)(x^{2}+2x+2).
Nota: x^{2}+2x+2 tem discriminante \Delta=4-8=-4<0, logo é irredutível sobre os reais (forma de quadrática irreducível).

Passo 3

Montar a forma da decomposição em frações parciais apropriada:
  • Como o denominador é produto de um fator linear distinto (x-1) e uma quadrática irreduzível (x^{2}+2x+2), a decomposição tem a forma
\frac{x^{2}+3x+7}{(x-1)(x^{2}+2x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+2},
onde A,B,C são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+2x+2) obtém-se a identidade de polinômios:
x^{2}+3x+7 = A(x^{2}+2x+2) + (Bx+C)(x-1).
Expandindo o lado direito:
A x^{2}+2A x+2A + Bx^{2} + (C-B)x - C.
Agrupando termos:
(A+B)x^{2} + (2A + C - B)x + (2A - C).
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo x^{2}+3x+7, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 2A + C - B = 3,\\[4pt] 2A - C = 7. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para A,B,C.
Da terceira equação:
2A - C = 7 \quad\Rightarrow\quad C = 2A - 7.
Substituindo C na segunda equação:
2A + (2A-7) - B = 3 \quad\Rightarrow\quad 4A -7 - B = 3 \quad\Rightarrow\quad B = 4A -10.
Usando a primeira equação A+B=1:
A + (4A -10) = 1 \quad\Rightarrow\quad 5A -10 = 1 \quad\Rightarrow\quad 5A = 11 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{11}{5}.
Logo
B = 4A -10 = 4\cdot\frac{11}{5}-10 = \frac{44}{5}-\frac{50}{5} = -\frac{6}{5},
e
C = 2A -7 = 2\cdot\frac{11}{5}-7 = \frac{22}{5}-\frac{35}{5} = -\frac{13}{5}.
Portanto a decomposição é
\frac{x^{2}+3x+7}{(x-1)(x^{2}+2x+2)} = \frac{11/5}{x-1} + \frac{(-6/5)x + (-13/5)}{x^{2}+2x+2}.
Fatorando 1/5 para simplificar:
\frac{x^{2}+3x+7}{(x-1)(x^{2}+2x+2)} = \frac{1}{5}\left(\frac{11}{x-1} + \frac{-6x-13}{x^{2}+2x+2}\right).

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Escrevendo a integral com a decomposição:
\int \frac{x^{2}+3x+7}{x^{3}+x^{2}-2}\,dx = \frac{1}{5}\int \left(\frac{11}{x-1} + \frac{-6x-13}{x^{2}+2x+2}\right)\,dx.
Integramos as duas partes separadamente.
  1. Para a parte \dfrac{11}{x-1}:
\int \frac{11}{x-1}\,dx = 11\ln|x-1|.
  1. Para a parte \dfrac{-6x-13}{x^{2}+2x+2}: a ideia é escrever o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais uma constante.
  • Denominador D(x)=x^{2}+2x+2. Sua derivada é D'(x)=2x+2.
  • Procuramos k e m tais que -6x-13 = k(2x+2)+m.
    Comparando coeficientes:
2k = -6 \Rightarrow k=-3,
e então
2k + m = -13 \Rightarrow -6 + m = -13 \Rightarrow m = -7.
Logo
\frac{-6x-13}{x^{2}+2x+2} = -3\cdot\frac{2x+2}{x^{2}+2x+2} - \frac{7}{x^{2}+2x+2}.
Integrando:
  • A integral de \dfrac{2x+2}{x^{2}+2x+2} é \ln(x^{2}+2x+2), porque \dfrac{D'}{D} integra para \ln D.
  • Para \dfrac{1}{x^{2}+2x+2} completamos o quadrado no denominador:
x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2} + 1.
E \int \dfrac{1}{(x+1)^{2}+1}\,dx = \arctan(x+1).
Portanto
\int \frac{-6x-13}{x^{2}+2x+2}\,dx = -3\ln(x^{2}+2x+2) -7\arctan(x+1).
  1. Reunindo com o factor \tfrac{1}{5}:
\int \frac{x^{2}+3x+7}{x^{3}+x^{2}-2}\,dx = \frac{1}{5}\left(11\ln|x-1| -3\ln(x^{2}+2x+2) -7\arctan(x+1)\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{1}{5}\left(11\ln|x-1| -3\ln\bigl(x^{2}+2x+2\bigr) -7\arctan(x+1)\right) + C

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