Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
\int \frac{x^{2}+1}{x^{3}+4 x^{2}+6 x+4} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele dá:
  • Pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}+1}{x^{3}+4x^{2}+6x+4}\,dx.
  • Observações imediatas extraídas do enunciado:
    • O numerador é o polinômio \,x^{2}+1\, de grau 2.
    • O denominador é o polinômio \,x^{3}+4x^{2}+6x+4\, de grau 3.
  • A tarefa solicitada é usar frações parciais para resolver a integral.

Passo 2

Verificar se a fração é imprópria e fatorar o denominador:
  • Como o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), a fração já é própria e não precisamos fazer divisão polinomial.
  • Tentar fatorar o denominador \,x^{3}+4x^{2}+6x+4. Testando raízes racionais possíveis ( \pm1,\pm2,\pm4) vemos que x=-2 é raiz porque
(-2)^{3}+4(-2)^{2}+6(-2)+4 = -8 +16 -12 +4 = 0.
Portanto (x+2) é um fator. Fazendo a divisão do polinômio por (x+2) (ou fatorando), obtém-se o quociente
x^{2}+2x+2.
  • Logo o denominador fatora como
x^{3}+4x^{2}+6x+4 = (x+2)\,(x^{2}+2x+2).
  • Observação: x^{2}+2x+2 tem discriminante \Delta=4-8=-4<0, logo é irredutível sobre os reais (é um quadrático sem raízes reais).

Passo 3

Montar a decomposição em frações parciais apropriada:
  • Para o fator linear (x+2) usamos um termo \dfrac{A}{x+2} com A constante.
  • Para o fator quadrático irreduzível x^{2}+2x+2 usamos um numerador linear \dfrac{Bx+C}{x^{2}+2x+2}.
  • Assim assumimos a identidade
\frac{x^{2}+1}{(x+2)(x^{2}+2x+2)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^{2}+2x+2}.
  • Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x^{2}+2x+2) obtemos a identidade polinomial
x^{2}+1 = A(x^{2}+2x+2) + (Bx+C)(x+2).

Passo 4

Determinar [A), B e C igualando coeficientes:
  • Expandindo o lado direito:
A(x^{2}+2x+2) + (Bx+C)(x+2) = (A+B)x^{2} + (2A+2B+C)x + (2A+2C).
  • Igualando coeficientes com x^{2}+0x+1 obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 2A + 2B + C = 0,\\[4pt] 2A + 2C = 1. \end{cases}
  • Resolver passo a passo:
    • Da primeira equação: B = 1 - A\]. - Substituindo na segunda: \(2A + 2(1-A) + C = 0 \Rightarrow 2 + C = 0 \Rightarrow C = -2.
      - Substituindo C=-2 na terceira: 2A + 2(-2) = 1 \Rightarrow 2A -4 =1 \Rightarrow 2A =5 \Rightarrow A = \tfrac{5}{2}.
      - Então B = 1 - A = 1 - \tfrac{5}{2} = -\tfrac{3}{2}.
      - Portanto
A=\tfrac{5}{2},\qquad B=-\tfrac{3}{2},\qquad C=-2.]

Passo 5

Escrever a decomposição encontrada e preparar as integrais:
  • A decomposição é
\frac{x^{2}+1}{(x+2)(x^{2}+2x+2)} = \frac{5/2}{x+2} + \frac{(-3/2)x -2}{x^{2}+2x+2}.
  • Para integrar o segundo termo é conveniente completar o quadrado no denominador:
x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2}+1.
  • Reescrever o numerador (-3/2)x -2 em função de (x+1). Escreve-se
(-\tfrac{3}{2})x -2 = (-\tfrac{3}{2})(x+1) + \bigl(-2 -(-\tfrac{3}{2})\bigr) = (-\tfrac{3}{2})(x+1) + (-\tfrac{1}{2}).
  • Assim o integrando se separa como soma de termos que são padrões:
\frac{5/2}{x+2} + \frac{(-3/2)(x+1)}{(x+1)^{2}+1} + \frac{-1/2}{(x+1)^{2}+1}.

Passo 6

Integrar termo a termo, explicando cada fórmula usada:
  • Integral do primeiro termo:
    • Fórmula usada: \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln|x+a| + C.
    • Portanto
    \int \frac{5/2}{x+2}\,dx = \frac{5}{2}\ln|x+2|.
  • Integral do segundo termo:
    • Recognize the pattern \displaystyle \int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C. Aqui podemos tomar u=(x+1)^{2}+1, então u' = 2(x+1).
    • Observe que
    \frac{(x+1)}{(x+1)^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\,\frac{2(x+1)}{(x+1)^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\,d\bigl(\ln\bigl((x+1)^{2}+1\bigr)\bigr).
    • Assim
    \int \frac{(-3/2)(x+1)}{(x+1)^{2}+1}\,dx = -\tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\ln\bigl((x+1)^{2}+1\bigr) = -\tfrac{3}{4}\ln\bigl((x+1)^{2}+1\bigr).
  • Integral do terceiro termo:
    • Fórmula usada: \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan u + C.
    • Aqui u=x+1. Logo
    \int \frac{-1/2}{(x+1)^{2}+1}\,dx = -\tfrac{1}{2}\arctan(x+1).

Passo 7

Juntar os resultados e escrever a primitiva completa:
  • Somando os três resultados obtemos uma primitiva da integral original:
\int \frac{x^{2}+1}{x^{3}+4x^{2}+6x+4}\,dx = \frac{5}{2}\ln|x+2| \;-\; \frac{3}{4}\ln\bigl((x+1)^{2}+1\bigr) \;-\; \frac{1}{2}\arctan(x+1) \;+\; C,
onde C é a constante de integração.
  • (Opcional) Poder-se-ia combinar os logaritmos em um único logaritmo, mas a forma acima é clara e padrão para frações parciais.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}\ln|x+2|-\frac{3}{4}\ln\bigl((x+1)^{2}+1\bigr)-\frac{1}{2}\arctan(x+1)+C

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