Calcule as seguintes integrais utilizando frações parciais:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações ele dá:
- Pede para calcular a integral
- Observações imediatas extraídas do enunciado:
- O numerador é o polinômio
de grau . - O denominador é o polinômio
de grau .
- O numerador é o polinômio
- A tarefa solicitada é usar frações parciais para resolver a integral.
Passo 2
Verificar se a fração é imprópria e fatorar o denominador:
- Como o grau do numerador (
) é menor que o do denominador ( ), a fração já é própria e não precisamos fazer divisão polinomial. - Tentar fatorar o denominador
. Testando raízes racionais possíveis ( ) vemos que é raiz porque
Portanto
é um fator. Fazendo a divisão do polinômio por
(ou fatorando), obtém-se o quociente
- Logo o denominador fatora como
- Observação:
tem discriminante , logo é irredutível sobre os reais (é um quadrático sem raízes reais).
Passo 3
Montar a decomposição em frações parciais apropriada:
- Para o fator linear
usamos um termo com constante. - Para o fator quadrático irreduzível
usamos um numerador linear . - Assim assumimos a identidade
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Determinar [A),
e
igualando coeficientes:
- Expandindo o lado direito:
- Igualando coeficientes com
obtemos o sistema
- Resolver passo a passo:
- Da primeira equação:
- Substituindo na terceira:
- Então
- Portanto
- Da primeira equação:
Passo 5
Escrever a decomposição encontrada e preparar as integrais:
- A decomposição é
- Para integrar o segundo termo é conveniente completar o quadrado no denominador:
- Reescrever o numerador
em função de . Escreve-se
- Assim o integrando se separa como soma de termos que são padrões:
Passo 6
Integrar termo a termo, explicando cada fórmula usada:
-
Integral do primeiro termo:
- Fórmula usada:
. - Portanto
- Fórmula usada:
-
Integral do segundo termo:
- Recognize the pattern
. Aqui podemos tomar , então . - Observe que
- Assim
- Recognize the pattern
-
Integral do terceiro termo:
- Fórmula usada:
. - Aqui
. Logo
- Fórmula usada:
Passo 7
Juntar os resultados e escrever a primitiva completa:
- Somando os três resultados obtemos uma primitiva da integral original:
onde
é a constante de integração.
- (Opcional) Poder-se-ia combinar os logaritmos em um único logaritmo, mas a forma acima é clara e padrão para frações parciais.