Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+2 y=0
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+2 y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para classificar a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade, além de indicar as variáveis dependente e independente.
Passo 2
Variáveis:
- A variável independente é
(porque as derivadas são em relação a : ). - A variável dependente é
, que é função de : .
Explicação curta: numa ED, a variável independente é aquela em relação à qual se derivou (aqui
) e a dependente é a função que aparece diferenciada (aqui
).
Passo 3
Ordem da equação:
- Definição: a ordem de uma ED é o maior índice de derivada que aparece.
- Na equação aparece
(segunda derivada) e não aparece nenhuma derivada de ordem maior. - Logo a ordem é
.
Dica prática para prova: basta identificar a derivada de maior ordem que aparece — esse número é a ordem da ED.
Passo 4
Tipo (ordinária vs parcial):
- Definição: uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinais em relação a uma única variável independente; uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
- Na equação aparecem derivadas ordinárias
e em relação a uma só variável . - Portanto é uma equação diferencial ordinária (EDO).
Exemplo contrastante para fixar: se houvesse
ou derivadas em
e
, seria uma EDP; aqui não.
Passo 5
Linearidade:
- Definição prática: uma ED é linear se a função dependente
e todas as suas derivadas aparecem apenas em potência e não há produtos entre e suas derivadas nem funções não-lineares de (como , , , etc.). A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
onde
são funções de
apenas.
- Comparando com a equação dada, pode-se escrever
ou seja
,
,
e
.
- Portanto cada termo é linear em
ou em suas derivadas (não há potências maiores, produtos entre e , nem funções não-lineares de ). Logo a equação é linear.
Observação sobre coeficientes:
- Os coeficientes
são funções de . Como depende de , trata-se de uma EDO linear com coeficientes variáveis (não é de coeficientes constantes apenas porque varia com ).
Passo 6
Homogeneidade e conclusão parcial:
- Definição: uma ED linear é homogênea se o termo independente
for igual a . Aqui , logo a equação é homogênea. - Recapitulando (cada item já justificado nos passos anteriores): a equação é uma EDO de ordem
, linear (os termos em e derivadas aparecem de forma linear), com coeficientes que dependem de , e é homogênea.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO)
Ordem:
Linearidade: linear, homogênea, com coeficientes dependentes de (coeficiente de
é
)
Variável dependente:
Variável independente:
Ordem:
Linearidade: linear, homogênea, com coeficientes dependentes de
Variável dependente:
Variável independente: