Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x\frac{dy}{dx}+2y=0
e pede para classificar a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade, além de indicar as variáveis dependente e independente.

Passo 2

Variáveis:
  • A variável independente é x (porque as derivadas são em relação a x: d/dx).
  • A variável dependente é y, que é função de x: y=y(x).
Explicação curta: numa ED, a variável independente é aquela em relação à qual se derivou (aqui x) e a dependente é a função que aparece diferenciada (aqui y).

Passo 3

Ordem da equação:
  • Definição: a ordem de uma ED é o maior índice de derivada que aparece.
  • Na equação aparece \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (segunda derivada) e não aparece nenhuma derivada de ordem maior.
  • Logo a ordem é 2.
Dica prática para prova: basta identificar a derivada de maior ordem que aparece — esse número é a ordem da ED.

Passo 4

Tipo (ordinária vs parcial):
  • Definição: uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinais em relação a uma única variável independente; uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
  • Na equação aparecem derivadas ordinárias \dfrac{d}{dx} e \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} em relação a uma só variável x.
  • Portanto é uma equação diferencial ordinária (EDO).
Exemplo contrastante para fixar: se houvesse \dfrac{\partial y}{\partial x} ou derivadas em x e t, seria uma EDP; aqui não.

Passo 5

Linearidade:
  • Definição prática: uma ED é linear se a função dependente y e todas as suas derivadas aparecem apenas em potência 1 e não há produtos entre y e suas derivadas nem funções não-lineares de y (como (y)^2, \sin y, y\,y', etc.). A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
a_2(x)\,y''+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=g(x),
onde a_2,a_1,a_0,g são funções de x apenas.
  • Comparando com a equação dada, pode-se escrever
1\cdot y''+(-2x)\cdot y'+2\cdot y=0,
ou seja a_2(x)=1, a_1(x)=-2x, a_0(x)=2 e g(x)=0.
  • Portanto cada termo é linear em y ou em suas derivadas (não há potências maiores, produtos entre y e y', nem funções não-lineares de y). Logo a equação é linear.
Observação sobre coeficientes:
  • Os coeficientes a_2,a_1,a_0 são funções de x. Como a_1(x)=-2x depende de x, trata-se de uma EDO linear com coeficientes variáveis (não é de coeficientes constantes apenas porque a_1 varia com x).

Passo 6

Homogeneidade e conclusão parcial:
  • Definição: uma ED linear é homogênea se o termo independente g(x) for igual a 0. Aqui g(x)=0, logo a equação é homogênea.
  • Recapitulando (cada item já justificado nos passos anteriores): a equação é uma EDO de ordem 2, linear (os termos em y e derivadas aparecem de forma linear), com coeficientes que dependem de x, e é homogênea.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO)
Ordem: 2
Linearidade: linear, homogênea, com coeficientes dependentes de x (coeficiente de y' é -2x)
Variável dependente: y
Variável independente: x

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