(4) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{4 x^{2}+17 x+13}{(x-1)\left(x^{2}+6 x+10\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{4x^2+17x+13}{(x-1)\bigl(x^2+6x+10\bigr)}\,dx.
O conteúdo é decomposição em frações parciais de função racional: primeiro separamos em termos simples e depois integramos cada um.

Passo 2

Escrevemos a decomposição
\frac{4x^2+17x+13}{(x-1)(x^2+6x+10)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+6x+10}.
Multiplicando por (x-1)(x^2+6x+10) obtemos
4x^2+17x+13 \;=\; A(x^2+6x+10)+(Bx+C)(x-1).

Passo 3

Expandindo o lado direito e agrupando em potências de x:
A x^2+6A x+10A +B x^2 -B x +C x -C =(A+B)x^2+(6A -B +C)x+(10A -C).
Comparando coeficientes com 4x^2+17x+13, temos o sistema
\begin{cases} A+B=4,\\\\ 6A -B +C=17,\\\\ 10A -C=13, \end{cases}
cuja solução é
A=2,\quad B=2,\quad C=7.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{4x^2+17x+13}{(x-1)(x^2+6x+10)}\,dx =\int \frac{2}{x-1}\,dx +\int \frac{2x+7}{x^2+6x+10}\,dx.
A primeira integral é imediata:
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln\bigl|x-1\bigr|.

Passo 5

Para a segunda integral, note que
x^2+6x+10 = (x+3)^2+1, \quad 2x+7 = (2x+6)+1 = 2(x+3)+1.
Então
\int \frac{2x+7}{x^2+6x+10}\,dx =\int \frac{2(x+3)}{(x+3)^2+1}\,dx +\int \frac{1}{(x+3)^2+1}\,dx.
Na primeira fazemos u=(x+3)^2+1, du=2(x+3)\,dx, obtendo \ln\bigl((x+3)^2+1\bigr). Na segunda reconhecemos a forma de arco-tangente, dando \arctan(x+3).

Resposta

\int \frac{4x^2+17x+13}{(x-1)(x^2+6x+10)}\,dx =2\ln\bigl|x-1\bigr|+\ln\bigl(x^2+6x+10\bigr)+\arctan(x+3)+C.

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