(3) Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
int \operatorname{tg}^{3}(t) \operatorname{sec} ^{2}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan^{3}(t)\,\operatorname{sec}^{2}(t)\,dt
usando mudança de variável. O conteúdo aqui é reconhecer uma parte da integral que seja a derivada de alguma função simples.

Passo 2

Observamos que \frac{d}{dt}\tan(t)=\operatorname{sec}^{2}(t). Logo, faz sentido definir a substituição
u = \tan(t).

Passo 3

Da definição u=\tan(t) segue
du = \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt,
ou seja, \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt = du.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int \tan^{3}(t)\,\operatorname{sec}^{2}(t)\,dt = \int u^{3}\,du.

Passo 5

Agora basta integrar u^{3} em relação a u, obtendo
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 6

Voltando à variável t, substituímos u=\tan(t) e chegamos à antiderivada final
\frac{\tan^{4}(t)}{4} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{4}(t)}{4} + C

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