Desenhe o conjunto A e calcule a sua área:
A é a região compreendida entre os gráficos de y=x e y=x^{2}, com 0 \leq x \leq 2;

Passo 1

O enunciado pede a área da região A limitada pelas curvas y=x e y=x^2 para 0\le x\le2. Vamos usar o método de integração de área entre curvas, que consiste em integrar a diferença entre a função superior e a inferior em cada subintervalo onde elas trocam de posição.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção de y=x e y=x^2, resolvendo
x = x^2
x(x-1)=0
x=0\quad\text{ou}\quad x=1.
No intervalo 0\le x\le1 tem-se x\ge x^2, logo a reta está acima da parábola; em 1\le x\le2 inverte-se: x^2\ge x.

Passo 3

A área de A é a soma da área abaixo de uma curva menos a outra em cada trecho:
A=\int_{0}^{1}\bigl(x - x^2\bigr)\,dx \;+\;\int_{1}^{2}\bigl(x^2 - x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente:
Para o primeiro termo,
\int_{0}^{1}(x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
Para o segundo termo,
\int_{1}^{2}(x^2 - x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = \bigl(\tfrac{8}{3}-2\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr) = \frac{5}{6}.
Somando as duas áreas,
A=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1.

Resposta

1

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