Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas: a função a integrar é
. Implicitamente usamos o logaritmo natural (ln). Observação importante:
está definida para
. A resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Vamos começar usando uma identidade simples do logaritmo que facilita a integral:
Essa identidade vale porque
para
e
. Assim a integral se separa em duas:
A primeira parte é imediata, pois
é constante:
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Para isso vamos usar a fórmula de integração por partes. Vou te lembrar a fórmula e explicar cada símbolo:
onde
é uma função que escolhemos para derivar (
será sua derivada vezes
) e
é a parte que integramos para obter
.
Escolhemos
Então derivando
e integrando
obtemos
Aplicando a fórmula:
A integral
é simplesmente
. Portanto
onde
é uma constante.
Passo 4
Voltando à expressão da Passo 2, juntamos as partes:
Agrupando termos e usando
, podemos simplificar:
Então uma primitiva é
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
portanto a primitiva está correta.