Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \ln (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln(2x)\,dx.
Informações relevantes fornecidas: a função a integrar é \ln(2x). Implicitamente usamos o logaritmo natural (ln). Observação importante: \ln(2x) está definida para x>0. A resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos começar usando uma identidade simples do logaritmo que facilita a integral:
\ln(2x)=\ln 2+\ln x.
Essa identidade vale porque \ln(ab)=\ln a+\ln b para a>0 e b>0. Assim a integral se separa em duas:
\int \ln(2x)\,dx=\int \ln 2\,dx+\int \ln x\,dx.
A primeira parte é imediata, pois \ln 2 é constante:
\int \ln 2\,dx = (\ln 2)\,x.

Passo 3

Agora precisamos calcular \int \ln x\,dx. Para isso vamos usar a fórmula de integração por partes. Vou te lembrar a fórmula e explicar cada símbolo:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u é uma função que escolhemos para derivar ( du será sua derivada vezes dx) e dv é a parte que integramos para obter v.
Escolhemos
u=\ln x,\qquad dv=dx.
Então derivando u e integrando dv obtemos
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln x\,dx = u v - \int v\,du = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx.
A integral \int 1\,dx é simplesmente x. Portanto
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C_1,
onde C_1 é uma constante.

Passo 4

Voltando à expressão da Passo 2, juntamos as partes:
\int \ln(2x)\,dx = (\ln 2)\,x + \bigl(x\ln x - x\bigr) + C.
Agrupando termos e usando \ln 2+\ln x=\ln(2x), podemos simplificar:
(\ln 2)\,x + x\ln x - x = x\bigl(\ln 2+\ln x\bigr)-x = x\ln(2x)-x.
Então uma primitiva é
x\ln(2x)-x + C.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(2x)-x\bigr) = \ln(2x) + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln(2x),
portanto a primitiva está correta.

Resposta

x\ln(2x)-x + C

Exercícios relacionados