Calcule a regra da cadeia da seguinte função, no ponto dado:
Passo 1
O enunciado dá as funções
As perguntas implícitas são:
- Calcular a derivada temporal da função composta
usando a regra da cadeia. - Expressar essa derivada em termos de
(e, se possível, simplificá‑la).
Observação: aqui vou interpretar
como
(arcocoseno) e
como
(arcseno), funções inversas trigonométricas nas suas ramas principais.
Passo 2
A regra da cadeia para uma função
composta com
diz:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
. O que faremos: calcular
e
, calcular
e
, e substituir.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
e em relação a
obtemos
Derivando
Explicação rápida:
é tratado como constante quando derivamos em relação a
, e a derivada de
é
; de modo análogo para
.
Passo 4
Agora precisamos de
e
, ou seja as derivadas de
e
.
Derivada de
: escreva
. Então
. Diferenciando em
:
Mas
(tomando o ramo positivo de
para
). Logo
Derivada de
: escreva
. Então
. Diferenciando:
Mas
(positivo para o ramo principal), então
Portanto
válido para
(domínio onde a raiz e as inversas estão definidas).
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Usando
e
e os
calculados:
Agrupando o denominador comum
:
Agora lembramos que
e
, então
Passo 6
Podemos simplificar usando a identidade clássica das funções inversas trigonométricas (ramo principal):
Portanto
Comentário final: a forma intermediária
é equivalente à forma simplificada
naqueles
em que a identidade vale (ramo principal).