Calcule a regra da cadeia da seguinte função, no ponto dado:
f(x, y)=y^{2}-x^{2}, \quad x(t)=\operatorname{acos}(t), \quad y(t)=\operatorname{asen}(t)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x,y)=y^{2}-x^{2},\qquad x(t)=\operatorname{acos}(t),\qquad y(t)=\operatorname{asen}(t).
As perguntas implícitas são:
  1. Calcular a derivada temporal da função composta t\mapsto f(x(t),y(t)) usando a regra da cadeia.
  2. Expressar essa derivada em termos de t (e, se possível, simplificá‑la).
Observação: aqui vou interpretar \operatorname{acos} como \operatorname{arccos} (arcocoseno) e \operatorname{asen} como \arcsin (arcseno), funções inversas trigonométricas nas suas ramas principais.

Passo 2

A regra da cadeia para uma função f(x,y) composta com x(t),y(t) diz:
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=f_{x}(x(t),y(t))\cdot x'(t)+f_{y}(x(t),y(t))\cdot y'(t).
Aqui f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_{y} é a derivada parcial em relação a y. O que faremos: calcular f_{x} e f_{y}, calcular x'(t) e y'(t), e substituir.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f.
Derivando f(x,y)=y^{2}-x^{2} em relação a x e em relação a y obtemos
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x^{2})=-2x,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-x^{2})=2y.
Explicação rápida: y^{2} é tratado como constante quando derivamos em relação a x, e a derivada de -x^{2} é -2x; de modo análogo para y.

Passo 4

Agora precisamos de x'(t) e y'(t), ou seja as derivadas de \operatorname{arccos}(t) e \arcsin(t).
Derivada de \arcsin: escreva u=\arcsin(t). Então \sin(u)=t. Diferenciando em t:
\cos(u)\,u'=1 \implies u'=\frac{1}{\cos(u)}.
Mas \cos(u)=\sqrt{1-\sin^{2}(u)}=\sqrt{1-t^{2}} (tomando o ramo positivo de \cos para u=\arcsin(t)). Logo
\frac{d}{dt}\arcsin(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Derivada de \operatorname{arccos}: escreva v=\operatorname{arccos}(t). Então \cos(v)=t. Diferenciando:
-\sin(v)\,v'=1 \implies v'=-\frac{1}{\sin(v)}.
Mas \sin(v)=\sqrt{1-\cos^{2}(v)}=\sqrt{1-t^{2}} (positivo para o ramo principal), então
\frac{d}{dt}\operatorname{arccos}(t)=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Portanto
x'(t)=\frac{d}{dt}\operatorname{acos}(t)=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\operatorname{asen}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},
válido para t\in(-1,1) (domínio onde a raiz e as inversas estão definidas).

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=f_{x}(x(t),y(t))x'(t)+f_{y}(x(t),y(t))y'(t).
Usando f_{x}=-2x e f_{y}=2y e os x'(t),y'(t) calculados:
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=(-2x(t))\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\right)+(2y(t))\left(\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\right).
Agrupando o denominador comum \sqrt{1-t^{2}}:
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{2x(t)+2y(t)}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Agora lembramos que x(t)=\operatorname{arccos}(t) e y(t)=\arcsin(t), então
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{2\big(\operatorname{arccos}(t)+\arcsin(t)\big)}{\sqrt{1-t^{2}}}.

Passo 6

Podemos simplificar usando a identidade clássica das funções inversas trigonométricas (ramo principal):
\operatorname{arccos}(t)+\arcsin(t)=\frac{\pi}{2}\qquad\text{para }t\in(-1,1).
Portanto
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{2\cdot\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-t^{2}}}=\frac{\pi}{\sqrt{1-t^{2}}},\qquad t\in(-1,1).
Comentário final: a forma intermediária \dfrac{2(\operatorname{arccos}(t)+\arcsin(t))}{\sqrt{1-t^{2}}} é equivalente à forma simplificada \dfrac{\pi}{\sqrt{1-t^{2}}} naqueles t em que a identidade vale (ramo principal).

Resposta

\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{2\big(\operatorname{arccos}(t)+\arcsin(t)\big)}{\sqrt{1-t^{2}}}
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{\pi}{\sqrt{1-t^{2}}},\quad t\in(-1,1)

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