Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\quad \int \cos (2 u) \cos (4 u) d u.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(2u)\cos(4u)\,du.
Aqui o truque é usar a identidade produto-para-soma para produtos de cossenos:
\cos A \cos B = \frac12\bigl[\cos(A + B) + \cos(A - B)\bigr].

Passo 2

Aplicando essa identidade com A=2u e B=4u, obtemos
\cos(2u)\cos(4u) = \frac12\bigl[\cos(6u) + \cos(-2u)\bigr] = \frac12\bigl[\cos(6u) + \cos(2u)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral e separando termos:
\int \cos(2u)\cos(4u)\,du = \frac12\int\bigl[\cos(6u)+\cos(2u)\bigr]\,du = \frac12\int\cos(6u)\,du + \frac12\int\cos(2u)\,du.

Passo 4

Lembrando que
\int \cos(k u)\,du = \frac{1}{k}\sin(k u) + C,
temos
\int\cos(6u)\,du = \frac{1}{6}\sin(6u), \quad \int\cos(2u)\,du = \frac{1}{2}\sin(2u).

Passo 5

Multiplicando pelos fatores \tfrac12 e somando a constante C,
\frac12\cdot\frac{1}{6}\sin(6u) \;+\; \frac12\cdot\frac{1}{2}\sin(2u) + C = \frac{1}{12}\sin(6u) + \frac{1}{4}\sin(2u) + C.

Resposta

\frac{1}{12}\sin(6u) + \frac{1}{4}\sin(2u) + C

Exercícios relacionados