Calcule as seguintes integrais indefinidas.
\int \operatorname{tg}(x) \cdot \operatorname{sec} ^{2}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{tg}(x)\cdot \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
  • A variável de integração é x.
  • Informação útil que aparece no integrando: aparece o produto de \tan(x) por \operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 2

Ideia principal (memorizando uma derivada chave): a derivada da função \tan(x) é \operatorname{sec}^{2}(x). Em termos de cálculo:
\frac{d}{dx}\big(\tan(x)\big)=\operatorname{sec}^{2}(x).
Isso sugere que podemos usar a substituição u=\tan(x), porque então seu diferencial aparece natural no integrando. Vou explicar com calma o porquê da substituição funcionar: se u=\tan(x) então du=\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx, ou seja, o fator \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx do integrando vira simplesmente du, transformando a integral numa integral polinomial simples.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente:
u=\tan(x).
Calculando o diferencial,
du=\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Substituindo na integral original, o produto \tan(x)\cdot\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx fica u\cdot du. Assim a integral transforma-se em
\int \operatorname{tg}(x)\cdot \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \int u\,du.

Passo 4

Integro \int u\,du. A regra básica de potências diz que \int u^n\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n=1, logo
\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}+C.

Passo 5

Volto para a variável x substituindo u=\tan(x):
\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{1}{2}\tan^{2}(x)+C.
Observação útil: outra primitiva válida é \dfrac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}(x)+C', porque \operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x) e isso só difere por uma constante: \dfrac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\tan^{2}(x). Ambas são antiderivadas corretas (diferença absorvida na constante).

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ter confiança): derivando \dfrac{1}{2}\tan^{2}(x) usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\tan^{2}(x)\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\tan(x)\cdot\operatorname{sec}^{2}(x)=\tan(x)\operatorname{sec}^{2}(x),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\tan^{2}(x)+C

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