Calcule as seguintes integrais indefinidas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede calcular a integral indefinida
. - A variável de integração é
. - Informação útil que aparece no integrando: aparece o produto de
por .
Passo 2
Ideia principal (memorizando uma derivada chave): a derivada da função
é
. Em termos de cálculo:
Isso sugere que podemos usar a substituição
, porque então seu diferencial aparece natural no integrando. Vou explicar com calma o porquê da substituição funcionar: se
então
, ou seja, o fator
do integrando vira simplesmente
, transformando a integral numa integral polinomial simples.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente:
Calculando o diferencial,
Substituindo na integral original, o produto
fica
. Assim a integral transforma-se em
Passo 4
Integro
. A regra básica de potências diz que
para
. Aqui
, logo
Passo 5
Volto para a variável
substituindo
:
Observação útil: outra primitiva válida é
, porque
e isso só difere por uma constante:
. Ambas são antiderivadas corretas (diferença absorvida na constante).
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ter confiança): derivando
usando regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.